Anillo de orden $p^2$ es conmutativa.

Question

Me gustaría mostrar que el anillo de la orden de $p^2$ es conmutativa.

Tomando $G=(R, +)$ como grupo, tenemos dos posibles clases de isomorfismo $\mathbb Z /p^2\mathbb Z$$\mathbb Z/ p\mathbb Z \times \mathbb Z /p\mathbb Z$.

Desde characterstic debe dividir el tamaño del grupo, entonces tenemos dos posibilidades $p$$p^2$.

Ahora IU no entiendo cómo puedo razón para decir que la multiplicación es conmutativa y cómo puedo concluir para el caso cuando characterstic es $p$?

Answer 1

Deje $R$ ser un anillo con $p^2$ elementos, vamos a $0 \neq x \in R$, tenemos que demostrar que $Z(x) = \{r \in R : xr=rx\}$ coincide con $R$. Es un aditivo subgrupo, incluso un sub-anillo, contiene $x$, y por lo tanto tiene el fin de $p$ o $p^2$. En este último caso, hemos terminado. Suponga que tiene el fin de $p$. Cada anillo de la orden de $p$ es canónicamente isomorfo a $\mathbb{Z}/p$. De ello se desprende que $x=z \cdot 1$ algunos $z \in \mathbb{Z}$. Pero, obviamente,$Z(x)=R$.

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Para los anillos sin unidad, también llamados generadores de números aleatorios, esta falla: Hay $11$ rng con $p^2$ elementos, consulte aquí. Dos de estos son de no-conmutativa, es decir, $E=\langle a,b : pa=pb=0, a^2=a, b^2=b, ab=a, ba=b \rangle$ $F = \langle a,b : pa=pb=0, a^2=a, b^2=b, ab=b, ba=a\rangle.$

Answer 2

Advertencia: asumo aquí que el "anillo" significa "unital anillo", no "rng" sin la unidad.

Hay un canónica anillo de morfismos $f:\mathbb Z\to R$ (esto es cierto para todos los anillos).
Su imagen $f(\mathbb Z)\subset R$ tiene cardinalidad bien $p^2$ o $p$.
$\bullet $ En el primer caso $f(\mathbb Z)=R$ y desde $f(\mathbb Z)= \mathbb Z/p^2\mathbb Z$ (la única cociente de $\mathbb Z$ de cardinalidad $p^2$) que se hacen: $R= \mathbb Z/p^2\mathbb Z$, un anillo conmutativo.

$\bullet \bullet$ En el segundo caso $f(\mathbb Z)= \mathbb Z/p\mathbb Z$ (la única cociente de $\mathbb Z$ de cardinalidad $p$) y $R$ $\mathbb Z/p\mathbb Z$- álgebra.
Que el álgebra se genera por cualquier elemento $r\in R\setminus (\mathbb Z/p\mathbb Z)$, es decir,$R=\mathbb Z/p\mathbb Z[r]$, lo que implica inmediatamente que $R$ es conmutativa, ya que $f(\mathbb Z)=\mathbb Z/p\mathbb Z$ está en el centro de la $R$, y puesto que los poderes de $r$ conmuta con cada uno de los otros.

Complemento
En realidad, podemos clasificar todos los anillos en $\bullet \bullet$.
Si $m(x)=x^2+ax+b\in \mathbb Z/p\mathbb Z[x]$ es el polinomio mínimo de a $r$ $\mathbb Z/p\mathbb Z$ entonces tenemos $R=\frac{ \mathbb Z/p\mathbb Z[x]}{\langle m(x)\rangle}$ y de ello se sigue que $$R=\mathbb F_{p^2} \;\text {(the field with} p^2 \text {elements)},\;\mathbb Z/p\mathbb Z\times \mathbb Z/p\mathbb Z \;\text{or} \;(\mathbb Z/p\mathbb Z)[x]/(x^2)$$ according as $m(x)$ es irreductible, reducible con distintas raíces o reducible con una doble raíz.

Answer 3

Recordemos que un anillo que se genera por un elemento como un anillo es conmutativo. De hecho, es un epimorphic imagen de $\mathbb Z[X]$.

Vamos ahora a $R$ ser de orden $p^2$. A continuación, $R$ es generado como un anillo de un elemento:

• Si el aditivo grupo es cíclico, entonces cualquier aditivo generador generará $R$ como un anillo.

• Si el aditivo grupo no es cíclica, es generada por cualquiera de los dos $\mathbb F_p$-linealmente independientes elemements. Desde $1\in R$ no es cero, podemos elegir un $x\in R$ tal que $\{1,x\}$ genera el aditivo grupo. En particular, $x$ genera $R$ como un anillo.