Dado un gas de Van der Waals con ecuación de estado: $$\left( P+\frac{N^2 a}{V^2}\right)\left( V-Nb \right)=NkT,$$ muestre que la ecuación de un proceso adiabático es: $$\left( V-Nb\right)T^{C_V}=\text{constante}.
Comencé estableciendo $Q=0$ en $$\mathrm dU=Q+W,$$ se obtiene entonces $$0=\mathrm dU+P~\mathrm dV.
Ahora, dado que $U=\frac{3}{2}NkT-\frac{N^2 a}{V},$ lo sustituí en sus derivadas en $$\mathrm dU=\left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V~\mathrm dT+\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T~\mathrm dV,$$ de donde obtuve $$0=C_V~\mathrm dt+\left(P+\frac{N^2 a}{V^2} \right)_T~\mathrm dV=C_V~\mathrm dT + \frac{NkT}{V-Nb}~\mathrm dV,$$ usando la ecuación de $V~ W$.
Dividiendo por $T$ e integrando se obtiene $$C=\log{T^{C_V}}+\log{(V-Nb)^{Nk}},$$ que es equivalente a $$C'=(V-Nb)^{Nk}T^{C_V},$$ para $C$ y $C'$ constantes.
Ahora, la expresión obtenida parece muy similar a lo que buscaba, pero no logro deshacerme del exponente $Nk$. ¿Alguien tiene un enfoque diferente para este problema, o una manera de obtener la fórmula deseada?
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El resultado que obtengo es $T^{3/2}(V-Nb)=\mathrm{const.}$ ¿Estás segura de que el exponente es $C_{V}$?
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Eso es lo que está en el conjunto de problemas que me dio mi profesor, pero podría estar equivocado. ¿Cómo calcularías y obtendrías la potencia $3/2$?
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Antes de integrar, divide por $NkT$. En lugar de $C_V$ solo obtendrás $3/2$. Al final integrarás $0=\frac{3}{2T}dT+\frac{1}{V-Nb}dV$.