Promedios ponderados pertenecen a la clase de la matriz de suma de los métodos.
Definir
$$W:=\left(\begin{matrix}W_{1,1},W_{1,2},\ldots\\W_{2,1},W_{2,2},\ldots\\\vdots\\\end{matrix}\right)$$
Representan la secuencia de $\{x_n\}$ por el infinito de vectores $X:=\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\end{matrix}\right)$, e $\{b_n\}$ por el vector $B:=\left(\begin{matrix}b_1\\b_2\\\vdots\end{matrix}\right)$. Luego tenemos a $$B=WX.$$
En nuestro caso $W_{i,j}:=\frac{w(j)}{w(1)+\ldots+w(i)}$$j\leq i$, e $W_{i,j}:=0$$j>i$.
La suma método se llama regular si se transforma de secuencias convergentes en secuencias convergentes con el mismo límite. Para la matriz de suma de los métodos que hemos Silverman-Toeplitz teorema, que dice que una matriz suma método es regular si y sólo si los siguientes son satisfechos:
$\lim_{i\rightarrow\infty} W_{i,j}=0$, para cada $j\in\mathbb{N}$ (entradas converge a cero a lo largo de las columnas)
$\lim_{i\rightarrow\infty}\sum_{j=1}^{\infty}W_{i,j}=1$ (filas agregar a a $1$)
$\sup_{i}\sum_{j=1}^{\infty}|W_{i,j}|<\infty$ (la suma de los valores absolutos de las filas son acotados.)
En su caso $2$ $3$ está satisfecho (si se supone, como en el comentario de que $w(i)\geq0$), por lo tanto, obtener el resultado si y sólo si
$$\sum w(i)=\infty.$$
