La primera frase del artículo de Wikipedia titulado "Grupos cíclicos" dice que "En álgebra, un grupo cíclico es un grupo generado por un solo elemento".
¿Cómo es esto consistente con la adición en el conjunto de los enteros que se considera un grupo cíclico. ¿Cuál sería el único elemento que genera todos los enteros?
Por favor, no me digas que es el elemento 1 :)
Es el elemento $-1$ .
Más en serio, la definición de "genera" incluye permitir la inversa de los elementos generadores. Para cualquier grupo $G$ y el elemento $g\in G$ el subgrupo generado por $g$ es $$\{g^n:n\in\mathbb{Z}\}$$ no $$\{g^n:n\in\mathbb{N}\}$$ (este último no es un subgrupo a menos que $g$ tiene un orden finito).
Observe que $g^{-1}$ siempre está en $\{g^n:n\in\mathbb{Z}\}$ .
Es el elemento $1$ (o el elemento $-1$ ).
¿Por qué? El subgrupo $\langle g\rangle\subset G$ generado por un elemento $G$ se define como el subgrupo más pequeño que contiene $g$ . Desde $1$ está en $\langle 1\rangle$ (en $\mathbb Z$ ) y cualquier subgrupo es cerrado bajo inversos, $-1$ también está en $\langle 1\rangle$ (ya que es la inversa de $1$ ). Está claro que todos los enteros positivos están ahí, y también sus inversos. Se obtiene $0$ por el axioma del grupo de identidad (que la identidad aditiva debe ser un elemento de su subgrupo aditivo).
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