Deje $(X_n\mid n\in\mathbb{N})$ ser un yo.yo.d. secuencia de variables aleatorias tomando valores en $\mathbb{R}$. ¿Qué se puede decir sobre el límite de comportamiento de \begin{equation} S_n:=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{i} \end{equation} como $n\rightarrow \infty$? En particular, ¿bajo qué condiciones el $S_n$ convergen (a cero?), y bajo qué condiciones no convergen? Muchas gracias por la ayuda!
Respuesta
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Deje $\phi$ ser la característica de la función de $X_1$. A continuación,$\phi_n$, la función característica de a $S_n$, está dada por $$\phi_n(t)=\prod_{j=1}^n\phi\left(\frac tj\right),$$ por lo $(S_n,n\geqslant 1)$ converge en distribución, si y sólo si para cada una de las $t\in\mathbb R$, el producto $\prod_{j=1}^\infty\phi\left(\frac tj\right)$ es convergente (en el sentido usual de la palabra o $\phi(t/j)=0$ algunos $j$).
Hay casos donde el producto es convergente, y cuando el producto es divergente. Por ejemplo, considere las variables aleatorias con función característica $\phi(t):=e^{-|t|^\alpha}$ donde $0\lt\alpha\lt 2$. A continuación, el producto es convergente si y sólo si $\alpha\gt 1$.
Si $S_n$ converge en distribución a $0$ $|\phi(t)|=1$ por cada $t$.
