Cálculo de la dimensión de las representaciones en una representación inducida reducible

Question

Estoy buscando la inducción de representaciones de un subgrupo parabólico de $Sp_4$ en todo el grupo. Hay algunos casos en los que el resultado es reducible, y necesito calcular las dimensiones de las subrepresentaciones. Así que me preguntaba si hay un procedimiento general para calcular las dimensiones, al igual que hay un procedimiento bastante general para comprobar la irreductibilidad - es decir, el criterio de Mackey (que es como he encontrado los casos que son reducibles).

Mi pregunta: si una representación inducida es reducible, ¿existe un método relativamente general para calcular las dimensiones de las subrepresentaciones?

Debería poder hacer mi ejemplo específico leyendo la literatura existente sobre $Sp_4$ pero los artículos que he leído hasta ahora (B. Srinivasan, T. A. Springer) no dicen cómo han calculado las dimensiones.

Answer 1

El $G$ -anillo de endomorfismo de la representación inducida $\mu$ es isomorfa al álgebra de convolución de la función sobre $G$ transformando desde la derecha y la izquierda por el conjugado de $\mu$ . El espacio del doble coset $P\backslash G /P$ se calcula mediante la descomposición de Bruhat. De esta manera, se puede encontrar una base $n = \sum_{x} n_x \dim(\rho_x)$ intertwiner $P_i$ con $P_i^2$ y $P_i P_j = 0$ para $i \neq j$ . La dimensión del rango es la dimensión de las representaciones.