$\det(I+A) = 1 + tr(A) + \det(A)$ $n=2$ $n>2$?

Question

Deje $I$ la matriz identidad y $A$ otro general matriz cuadrada. En el caso de $n=2$ uno puede fácilmente se comprueba que \begin{equation} \det(I+A) = 1 + tr(A) + \det(A) \end{equation} o \begin{equation} \det(I+tA) = 1 + t\ tr(A) + t^2\det(A) \end{equation} para algunos escalares $t \in \mathbb{R}$.

He tratado de ver si existe una fórmula similar para $n>3$. Esta es una pregunta natural. Pero los cálculos son muy grandes y la dificultad para ver. Luego hago la respuesta. Hay una fórmula similar para $n>2$?

Answer 1

Sugerencia:

Si $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son los autovalores de a$A$, entonces el polinomio característico de a $A$ es $$ \det(tI-a)=(t-a_1)(t-a_2)\cdots(t-a_n).$$ Por lo tanto

• $\det(I+A)=(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)$

y

• $\det(I+tA)=(1+ta_1)(1+ta_2)\cdots(1+ta_n)$.

Answer 2

Uno puede expandir formalmente $\det(I+tA)$ poder de una serie de $t$ y obtener:

$$\begin{align} & \det(I + tA)\\ = & \exp\left(\text{Tr}\log(I+tA)\right)\\ = & \exp\left(t\,\text{Tr}A - \frac{t^2}{2}\text{Tr}A^2 + \frac{t^3}{3}\text{Tr}A^3 + \cdots \right)\\ = & 1 + t\,\text{Tr}A + \frac{t^2}{2!}\left( (\text{Tr}A)^2 - \text{Tr}A^2 \right) + \frac{t^3}{3!}\left((\text{Tr}A)^3 - 3 (\text{Tr}A)(\text{Tr}A^2) + 2 \text{Tr}A^3 \right) + \cdots \end{align}$$

Al $A$ $n \times n$ matriz, la mencionada ampliación terminar en el $t^n$ plazo con coeficiente igual a $\det A$. Con esto, usted puede obtener la fórmula similar a lo que usted tiene para $n = 2$:

$$ \det(I+tA) = \begin{cases} 1 + t\,\text{Tr}A + t^2 \det(A) & n = 2\\ \\ 1 + t\,\text{Tr}A + \frac{t^2}{2!}\left( (\text{Tr}A)^2 - \text{Tr}A^2 \right) + t^3 \det(A) & n = 3\\ \\ 1 + t\,\text{Tr}A + \frac{t^2}{2!}\left( (\text{Tr}A)^2 - \text{Tr}A^2 \right) \\\;\;\;+ \frac{t^3}{3!}\left((\text{Tr}A)^3 - 3 (\text{Tr}A)(\text{Tr}A^2) + 2 \text{Tr}A^3 \right) + t^4 \det(A) & n = 4\\ \end{casos} $$

Answer 3

$$ \left| \begin{array}{ccc} 1+a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & 1+a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 1+a_{33} \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 1+a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{32} & 1+a_{33} \\ \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & 1+a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 1+a_{33} \\ \end{array} \right|= $$ $$ = \left| \begin{array}{cc} 1+a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & 1+a_{33} \\ \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & a_{13} \\ a_{21} & 1 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & 1+a_{33} \\ \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 1+a_{33} \\ \end{array} \right| =\ldots $$ $$ = 1+{\rm tr} + M_{11} + M_{22} + M_{33}+\det a $$ y más por inducción.

Answer 4

es como en el desarrollo del polinomio característico (cada término del polinomio es una combinación simétrica sub-factores determinantes de la matriz inicial), yo creo que usted puede encontrar fácilmente una prueba de este hecho en el internet. O incluso puedes probarlo por ti mismo, el uso de la multi-linealidad de la determinante, y el hecho de que es suplente.