¿qué es$ \sqrt{8i}$

Question

Pregunta muy simple con una respuesta que no entiendo:

He a $\sqrt{8i}$, lo que, supongo, es el mismo que $\sqrt{\sqrt{-64}}$. ¿Cómo es que $2+2i$ es lo mismo que $\sqrt{8i}$?

Mi entendimiento es que el $\sqrt{8i}$ es el mismo: (a) $\sqrt{2^3i}$ O (b) $2\sqrt{2i}$

Estoy bastante seguro de que (a) es correcta y (b) podría ser correcto, pero ¿cómo se puede llegar desde allí a $2+2i$?

Gracias de antemano

Answer 1

una manera de ver es que existe alguna $z$ tal que $z^2=8i$, ahora sub $z=a+ib$ conseguir $a^2-b^2+2iab=8i$, equiparar la real y la imaginaria, resolver las ecuaciones simultáneas. si usted sabe acerca de la forma exponencial de los números complejos, este problema puede ser resuelto aún más rápido pero sospecho que no han aprendido todavía. Por la forma de ser cuidadoso en la declaración de arriba cuando usted dice $\sqrt{\sqrt{}}$, personalmente no es evidentemente claro tu permitiendo que tanto el $\sqrt{}$ de los valores a ser considerados como parece que su contabilidad por el sólo positivo, recordar la $\sqrt{}$ de los negativos no existen en los reales, pero no en los números complejos.

Answer 2

SUGERENCIA: $(1+i)^2=1+2i+i^2=2i\qquad\qquad$

Answer 3

deje $$x+iy=\sqrt{8i}$$ $$(x+iy)^2={8i}$$ $$x^2-y^2+2xyi=0+8i$$ comparar las partes real e imaginaria de ambos lados: $x^2-y^2=0\;; 2xy=8$ $$x^2-y^2=0$$ plaza de los dos lados $$\implies (x^2-y^2)^2 =0\implies (x^2+y^2)^2-(2xy)^2=0$$ $$\implies (x^2+y^2)^2=64 \implies (x^2+y^2)=\pm 8 $$ puesto que la suma de los cuadrados de los dos reales no. no pueden ser negativos para $$x^2+y^2=8\text{ and }x^2-y^2=0$$ la solución de estos dos eqn dará $x=y=\pm 2 $

por lo $$\sqrt {8i}=\pm 2(1+i)\implies 2+2i,-2-2i$$

Answer 4

Usted puede ir de esta manera

$$ \sqrt{8} \sqrt{i}= \sqrt{8} e^{\frac{1}{2}\ln i}= \sqrt{8}\,e^{\frac{1}{2}\left(\ln|i|+i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\right)}= \sqrt{8}\,e^{\left(i(\frac{\pi}{4})+k\pi\right)},\quad k=0,1.$$

Tenga en cuenta que, si usted toma el $k=2,3,\dots$, a continuación, volver a las mismas raíces.

Answer 5

Sugerencia :

$$ \sqrt i = \frac1{\sqrt2}(1+i) $$