Evaluar $\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{{6}/{x^{2}}}$

Question

Estoy tratando de evaluar los siguientes, pero sin resultado.

$$\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{{6}/{x^{2}}}$$

Puede usted por favor darme algunos consejos? He tratado de poner el registro a ambos lados, pero no me llevan a algún lugar... muchas Gracias

Answer 1

Escribo como $$\left[\left(1+\dfrac{\sin(x)-x}{x}\right)^{\dfrac{x}{\sin(x)-x}}\right]^{\dfrac{6(\sin(x)-x)}{x^3}}.$$

Aviso de lo que se ha hecho es añadir $1$ y restar $1$ en la base de la exponencial, y luego ajustar el exponente, para que se vea como $\big(1+\dfrac{1}{n}\big)\large^n$ dentro de los grandes soportes.

La parte dentro de los corchetes va a $e$. Así, usted tiene que calcular el límite de $\dfrac{6(\sin(x)-x)}{x^3}$

Estrategia General:

Este es un límite indeterminado de la forma $1^\infty$. Usted puede acercarse a estos indeterminado formas en las siguientes dos maneras:

1. Tomar la $a^b$ y escribo como $\left[(1+(a-1))^{\dfrac{1}{a-1}}\right]^{\large(a-1)b}$ La parte entre paréntesis tiende a $e$. Así, sólo se necesita para resolver de la forma indeterminada $(a-1)b$. Ya que este es un indeterminado de que el producto podría ser resuelto mediante la aplicación de L'Hospital de a $\dfrac{a-1}{1/b}$.
2. Tomar la $a^b$ y escribo como $e^{b\ln(a)}$ y, a continuación, sólo se necesita para resolver de la forma indeterminada del producto $b\ln(a)$. Que también podría ser abordado por L'Hospital de a $\dfrac{\ln(a)}{1/b}$.

Los dos son básicamente la misma. La única diferencia podría ser que en uno consigue un logaritmo en lo que queda del terreno y en el otro no.

Answer 2

Sólo sé que

$$\log{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)} \sim \log{\left(1-\frac{x^2}{6}\right)} \sim -\frac{x^2}{6}$$

Answer 3

Usted tiene: $$\lim_{x\to0} \bigg(\frac{\sin x}{x}\bigg)^{6/x^2}$$

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Sabemos que
$$\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ (esto puede ser probado por escrito a la Taylor Expansión de $\sin x$);

y que $$\frac{6}{x^2} \to\infty$$

Así que el problema está en la forma de $(\to1)^{(\to\infty)}$.
Siempre que llegamos a una situación como la de arriba, hacemos los siguientes pasos:

Si $\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)}$ donde$f(x)\to1$$g(x)\to\infty$, el valor del límite es:

$$\Large e^{g(x)(f(x)-1)}$$

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PRUEBA:

$$\Large \lim_{x\to a} f(x)^{g(x)}\\$$ $$\Large = \lim_{x\to a} e^{\ln f(x)^{g(x)}}$$ $$\Large = \lim_{x\to a} e^{g(x).\ln f(x)}$$ (...usando logarítmicas propiedades)

El índice parte es muy pequeño y apretados, haciendo difícil la lectura - que es por qué estoy sólo resuelve el índice que aparece a continuación:

\begin{eqnarray} Let L &=& g(x).\ln f(x)\\ &=& g(x).\ln(1 + f(x) - 1)\\ &=& g(x).\frac{\ln\bigg(1 + \big(f(x) - 1\big)\bigg)}{\big(f(x) - 1\big)}.(f(x) - 1)\\ \end{eqnarray} Sabemos que $f(x) - 1 \to0$ $(\because f(x) \to1)$; y que:
$$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$$

Así, obtenemos: $$L =\lim_{x\to 0} g(x)\cdot(f(x) - 1)$$

Por lo tanto, su límite es:

$$\Large e^\left({\lim\limits_{x\to 0} g(x)\cdot(f(x) - 1)}\right)$$

Ahora, sustituyendo los valores de sus funciones, su límite es:

$${\Large e^\left({\lim\limits_{x\to 0}6\dfrac{\sin x-x}{x^3}}\right)}$$

Answer 4

La mejor sugerencia que puedo dar, creo yo, es que no se rinda si una idea no de inmediato a resolver el problema para usted.

Si $$ L = \lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{{6}/{x^{2}}}$$ entonces $$ \log L = \lim_{x \to 0} \frac{6 \log\left(\frac{\sin x}{x} \right)}{x^2} $$

Ahora a olvidar por un momento que usted está tratando de encontrar $\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{{6}/{x^{2}}}$. Usted tiene un nuevo problema a ver si puedes resolver:

Evaluar el límite de $$\lim_{x \to 0} \frac{6 \log\left(\frac{\sin x}{x} \right)}{x^2} $$

¿Cuál es la forma de este límite? ¿Qué métodos tienen para la solución de los límites de esta forma?