Demostrar que un determinado ideal es no principal

Question

En algunos casos, es bastante sencillo probar que un determinado ideal no puede ser director. Por ejemplo, en el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$, el ideal de $(2,1+\sqrt{-5})$ no es principal, mediante la adopción de normas (ya que este es uno de los ideales en la factorización de 2).

Sin embargo, en ese caso, hemos utilizado que la norma de un elemento de generación tendría que igual $\pm 2$.

Ahora, vamos a $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-39})$ y deje $I=(2,\alpha-1)$ (donde $\alpha$ la raíz de $x^2-x+10$, el polinomio mínimo de a $\sqrt{-39}$). Quiero mostrar que este ideal no es principal. (específicamente, es el cuadrado de uno de los números primos en la factorización de $2\mathcal{O}_K$).

Alguna sugerencia?

Gracias.

Answer 1

Creo que de nuevo un acercamiento por parte de contradicción mediante normas no funciona. Desde $\alpha$ es una raíz de $x^2 - x + 10$

$$\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{-39}}{2}$$

Así, por ejemplo, si se escoge el signo negativo, entonces usted quiere mostrar que el ideal de $$I = \left \langle 2, \frac{1 - \sqrt{-39}}{2} - 1 \right \rangle = \left \langle 2, \frac{1 + \sqrt{-39}}{2} \right \rangle$$

no es principal. Así que si usted suponga que es la principal, a continuación, puede ser de la forma $I = \langle a + b\sqrt{-39} \rangle$ $a, b \in \mathbb{Z}$ o $I = \left \langle \frac{a + b\sqrt{-39}}{2} \right \rangle$$a, b \in \mathbb{Z}$.

A continuación, en el primer caso, tomando normas consigue $(a^2 + 39b^2) | 2$ porque se divide $\mathrm{\textbf{N}}(2) = 4 $$\mathrm{\textbf{N}} \left ( \frac{1 + \sqrt{-39}}{2} \right ) = 10$. Este caso es imposible, ya que la correspondiente diophantine ecuación no tiene soluciones en los enteros.

Y bueno, en el otro caso, la única diferencia es que usted consigue

$$\frac{a^2}{4} + \frac{39b^2}{4} | 2 \implies a^2 + 39b^2 | 8$$

Y, de nuevo, un análisis de caso por caso muestra que esto no es posible. Así que lo ideal no es principal.

Answer 2

Permítanme decir que, en principio, usted debería ser capaz de decidir si cualquier ideal $I$ en un imaginario cuadrática número anillo de $R = \mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ es principal o no mirando a las normas. De hecho, debido a que el grupo de la unidad de $R$ es finito (por lo general sólo $\pm 1$, de hecho), no va a haber más de un número finito de elementos $\alpha \in R$ $N(\alpha) = N(I)$ y podría escribir un pequeño fragmento de código para enumerarlos todos. Suponiendo que $I = \langle \beta_1,\ldots,\beta_n \rangle$ (podemos organizar para $n = 2$, pero eso no importa) acabamos de comprobar si $\beta_i/\alpha \in R$ todos los $i$. Si es así, a continuación,$\langle \alpha \rangle \supset I$, y dado que tienen la misma norma que debe ser igual.

Añadido: Mi respuesta anterior es innecesariamente cauteloso. Por supuesto, para cualquier $\alpha \in R$ y cualquier unidad de$u$$R$, los principales ideales de la $\langle \alpha \rangle$ $\langle u \alpha \rangle$ son iguales. Por lo tanto el argumento de arriba funciona cuando usted tiene un anillo de $R$, para los que puede algorítmicamente determinar todos los elementos $\alpha$ $\# R/\langle \alpha \rangle = N$ cualquier $N \in \mathbb{Z}^+$. Todos los anillos de enteros de los campos de número de esta propiedad. Naturalmente, hay probablemente mucho más eficiente de los algoritmos de este: por desgracia, mi conocimiento de los aspectos algorítmicos de la teoría algebraica de números es muy pobre.

Answer 3

$\rm (\beta)\: =\: (2,\:\alpha-1)\ \Rightarrow\ (\beta\:\beta')\: =\: (2)\ \Rightarrow\Leftarrow\ $ través $ \rm\ (2,\:\alpha-1)\ (2,\:\alpha'-1)\: =\: (4,\:10,\:2\alpha-2,\:2\alpha'-2)\: =\: (2)$

Más simple, evitando (conjugado) ideales: $\rm\ \beta\ |\ 2,\:\alpha-1\ \Rightarrow\ N(\beta)\ |\ N(2),\:N(\alpha-1)\:,\:$ es decir $\rm\:\beta\beta'\ |\ (4,10)= 2$