Mathworld señala que "El Fibonacci y Lucas, los números no tienen términos comunes, excepto 1 y 3," donde el Fibonacci y los números de Lucas se definen por la relación de recurrencia $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$. Para los números de Fibonacci, $a_1=a_2=1$; para Lucas números, $a_1=1$, $a_2=3$. ¿Cómo se puede demostrar mathworld la declaración?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $f_{n}$ $l_{n}$ ser la de Fibonacci y los números de Lucas, queremos mostrar que $f_n \ne l_m$, excepto para el frivial excepciones ($n=m=1$, $n=2, m=1$ y $n=4, m=2$). A ver que se puede considerar que las dos secuencias de $f_{n+k}$ $l_{n}$ slinding uno con el otro $k$ posiciones. Las únicas excepciones se plantean en el primer par de valores de $k$:
k=0 k=1 k=2
f_{n+k} 1 1 2 3 5 1 2 3 5 8 2 3 5 8 13
l_{n} 1 3 4 7 11 1 3 4 7 11 1 3 4 7 11
A ver que, en este sucessions no hay más coincidencias observar que para $k=0$, poniendo a $g_{n} = l_{1+n} - f_{1+n}$ $g_{1} > 1, g_{2} > 1$ $g_{n}=g_{n-1}+g_{n-2}$ $g_{n} > f_{n}$ todos los $n$ $f_{1+n} \ne l_{1+n}$ todos los $n$.
Usted puede hacer exactamente lo mismo para $k = 1$ desde $g_{n} = l_{1+n}-f_{2+n}$ $k=2$ poner $g_{n} = f_{4+n}-l_{2+n}$, y de nuevo en ambos casos $g_{1} \ge 1$$ g_{2} \ge 1$$g_{n} \ge f_{n}> 0$, y, en consecuencia,$f_{n+2}\ne l_{n+1}$$f_{n+4}\ne l_{n+2}$$n \ge 1$.
Finalmente, al ver que en $k>2$ no existen más excepción que el argumento es el mismo que poner $g_{n} = f_{n+k}-l_{n}$ tenemos $g_{1} \ge f_{4} - 1 \ge 1$$g_{2} \ge f_{5}-3 \ge 1$$g_{n}=g_{n-1}+g_{n-2}$$g_{n} \ge f_{n}>0$. El caso de $k< 0$ es idéntico utilizando en su lugar la función de $g_{n} = l_{n-k} - f_{n}$.
