la solución a la raíz de la desigualdad

Question

Tengo la desigualdad $$\sqrt{a^2+b^2+c^2}+2\sqrt{ab+ac+bc} \geq \sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ac}+\sqrt{c^2+2ab}.$$I tried to do $u=a^2+b^2+c^2$ and $v=ab+ac+bc$ and $x=a^2+2bc$, $y=b^2+2ac$, $z=c^2+2ab$ ...pero no encontré ninguna solución. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

$x=a-b,y=b-c,z=c-a,u^2=a^2+b^2+c^2,p^2=ab+bc+ac \to x+y+z=0,x^2+y^2+z^2=2u^2-2p^2,xy+yz+xz=p^2-u^2 \to x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2=(p^2-u^2)^2,(xy)^4+(yz)^4+(xz)^4=(u^2-p^2)^2+(4p^2-4u^2)x^2y^2z^2,u^2-x^2-p^2=-yz,u^2-y^2-p^2=-xz,u^2-z^2-p^2=-xy$

$\sqrt{a^2+b^2+c^2}+2\sqrt{ab+ac+bc} \geq \sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ac}+\sqrt{c^2+2ab} \iff $

$u+2p \ge \sqrt{u^2-x^2}+\sqrt{u^2-y^2}+\sqrt{u^2-z^2} \iff$

$ 2up \ge \sqrt{u^2-x^2}\sqrt{u^2-y^2}+\sqrt{u^2-x^2}\sqrt{u^2-z^2}+\sqrt{u^2-z^2}\sqrt{u^2-y^2}-p^2 \iff $

$ 4u^2p^2 \ge \sum_{cyc}(u^2-x^2)(u^2-y^2)+p^4+2\sum_{cyc}(u^2-x^2)\sqrt{u^2-z^2}\sqrt{u^2-y^2}-2p^2\sum_{cyc}\sqrt{u^2-x^2}\sqrt{u^2-y^2} \iff $

$ 4u^2p^2 \ge 3u^4+p^4+\sum_{cyc}x^2y^2-2(x^2+y^2+z^2)u^2+2\sum_{cyc}(u^2-x^2-p^2)\sqrt{u^2-z^2}\sqrt{u^2-y^2} \iff p^2(u^2-p^2) \ge -\sum_{cyc}yz\sqrt{u^2-z^2}\sqrt{u^2-y^2} \iff p^2(u^2-p^2)+xy\sqrt{u^2-x^2}\sqrt{u^2-y^2} \ge -yz\sqrt{u^2-z^2}\sqrt{u^2-y^2}-xz\sqrt{u^2-x^2}\sqrt{u^2-z^2} \iff [p^2(u^2-p^2)]^2+2x^2y^2(u^2-x^2)(u^2-y^2)-\sum_{cyc}x^2y^2(u^2-x^2)(u^2-y^2) \ge 2xy\sqrt{u^2-x^2}\sqrt{u^2-y^2}[z^2(u^2-z^2)-p^2(u^2-p^2)] \iff x^2y^2(2p^4+2z^4-u^2z^2)\ge 2x^2y^2\sqrt{u^2-x^2}\sqrt{u^2-y^2}(p^2-z^2) \iff x^4y^4[((2p^4+2z^4-u^2z^2)^2-4(p^2-z^2)^2(p^4+z^4-u^2z^2+2p^2z^2)]\ge 0 \iff (xyz)^4(4p^2-u^2)^2\ge 0 $cuando y sólo cuando $x=0 $ o $ y=0 $ o $z=0 $ tarda $"="$ QED.

EDIT: he añadido algunas notas para el proceso:

1. $xy>0 \to -yz\sqrt{u^2-z^2}\sqrt{u^2-y^2}-xz\sqrt{u^2-x^2}\sqrt{u^2-z^2}>0$
2. si $p^2 < z^2$, entonces la desigualdad ya OK como $2p^4+2z^4-u^2z^2 \ge p^4+z^4-u^2z^2+2p^2z^2=(u^2-x^2)(u^2-y^2) \ge 0$

Answer 2

Voy a suponer que $a, b, c \geq 0$. El cambio a coordenadas cilíndricas con eje en la dirección de la $(1, 1, 1)^T$ como sigue: $$\left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}\right) = \frac{z}{\sqrt{3}}\left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{matrix}\right) + \rho\left[\frac{\cos\phi}{\sqrt{6}}\left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -2\end{matrix}\right) + \frac{\sin\phi}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{matrix}\right)\right]$$ La desigualdad se convierte entonces en: $$\sum_{j=1}^3 \sqrt{z^2+\rho^2\cos(2\phi+\frac{2\pi}{3}j)} \leq \sqrt{z^2+\rho^2}+2\sqrt{z^2-\frac{1}{2}\rho^2}$$ El lado izquierdo depende de $\phi$, mientras que el lado derecho no, y tenemos la igualdad cuando la $\phi = \frac{k\pi}{3}$ $k$ un entero. La evaluación de la derivada parcial con respecto a $\phi$ de la izquierda muestra la existencia de puntos críticos en $\phi = \frac{k\pi}{6}$ por entero $k$. Conectar estas en la desigualdad muestra que la igualdad tiene al $\phi = \frac{k\pi}{3}$, mientras que la desigualdad estricta tiene al $\phi = \frac{(2k+1)\pi}{6}$ (a menos que $\rho = 0$).

En primer lugar, examinar el caso al $z^2 \geq \rho^2$. Considere la función $$f(x_1, x_2, x_3) = \sum_{i=1}^3\sqrt{z^2 + \rho^2x_i}$$ sujeto a las restricciones $$g(x_1,x_2,x_3)=x_1 + x_2 + x_3 = 0$$ $$h(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\frac{3}{2}$$ El método de multiplicadores de Lagrange dicta que los máximos locales sólo se encuentra en el lugar donde $\nabla f + \lambda \nabla g + \mu \nabla h = 0$. A continuación, para cada una de las $x_i$ hemos $$\rho^2(z^2+\rho^2x_i)^{-1/2}+\lambda+2\mu x_i=0$$ Deje $\psi(x) = \rho^2(z^2+\rho^2x)^{-1/2}+\lambda+2\mu x$. Desde $\frac{d^2 \psi}{d x^2} = \frac{3}{4}\rho^6(z^2+\rho^2x)^{-5/2} > 0$, $\psi$ puede tener a lo sumo dos raíces, por lo que los máximos locales sólo puede ser encontrado cuando dos de las $x_i$ son iguales. Esto corresponde a $\phi = \frac{k\pi}{6}$ por entero $k$. Ya tenemos igualdad en $\phi = \frac{k\pi}{3}$ y desigualdad estricta en $\phi = \frac{(2k+1)\pi}{6}$, los puntos críticos en $\phi=\frac{k\pi}{3}$ son máximos y los puntos críticos en $\phi = \frac{(2k+1)\pi}{6}$ son mínimos locales. Dado que la desigualdad se cumple en la maxima, tiene para todos los $\phi$.

Ahora considere el caso en que $z^2 < \rho^2$. Sabemos que el término $z^2 - \frac{1}{2}\rho^2$ en el lado derecho es siempre bien definido, por lo $\frac{1}{2}\rho^2 \leq z^2 < \rho^2$. El lado izquierdo es entonces indefinido dentro de un barrio de $\phi = \frac{(2k+1)\pi}{6}$. Desde $\phi = \frac{k\pi}{3}$ son máximos, por $z^2 \geq \rho^2$, por la continuidad con respecto a $z$ y el hecho de que los puntos críticos sólo puede ocurrir en $\frac{k\pi}{6}$, se deduce que el $\phi = \frac{k\pi}{3}$ son máximos para todos los $z^2 \geq \frac{1}{2}\rho^2$. A continuación, ya que la desigualdad se cumple en la maxima, tiene para todos los $\phi$ que está bien definido, y por lo tanto para todos $a, b, c \geq 0$. $\square$