¿por qué una determinada fórmula de Lang, el libro de las formas modulares?

Question

Antecedentes: Vamos a $k$ ser un entero par. La Eisenstein serie se define por $$E_{k} = 1 - \frac{2k}{B_{k}}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{k-1}(n)q^{n}$$ donde $$\sigma_{k-1}(n)= \sum\limits_{d \mid n,\;d \geq 1} d^{k-1}$$ and $B_{k}$ is the $k$-th Bernoulli number. If $k \gt 2$ then $E_{k}$ is a modular form of weight $k$. In the case when $k = 2$, $E_{k}$ is not a modular form. Let $P = E_{2}$. Thus $P = 1 - 24\sum_{n = 1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}$.

Deje $\theta$ ser el diferencial operador definido por $\theta = q \frac{d}{dq}$. Si $f$ es una forma modular de peso $k$, definir $\Delta f = 12 \theta f - kPf$. (Tenga en cuenta que el símbolo $\circ$ significa la composición.)

Vamos $$\alpha = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right) \in \textrm{SL}_{2}(\mathbf{R}).$$ Definir $$\alpha \tau = \frac{a \tau + b}{c \tau + d}.$$ Definir $f \circ [a]_{k}(\tau) = f(\alpha \tau)(c \tau + d)^{-k}$.

Mi pregunta:

Lang reclamaciones (como un lema en la página 161 de su "Introducción a las Formas Modulares") que $\Delta(f \circ [\alpha]_{k}) = (\Delta f) \circ [\alpha]_{k + 2}$. Mi pregunta es ¿por qué?

Answer 1

Nota para comenzar con el símbolo $\circ$ lo hace no significa que la composición; más bien, significa que la operación dado por la fórmula más adelante en su pregunta, a saber: $$f\circ[\alpha]_k(\tau) = (c\tau + d)^k f(\alpha \tau).$$

Ahora dicen que $f$ es una forma modular de peso $k$ es decir que $$f\circ[\alpha]_k(\tau) = f(\tau),$$ para todos los $\alpha \in SL_2(\mathbb Z),$ o, equivalentemente, que $$f(\alpha \tau) = (c\tau + d)^k f(\tau).$$ La diferenciación de ambos lados con respecto a $\tau,$ nos encontramos con que $$f'(\alpha \tau) (c\tau + d)^{-2} = (c\tau + d)^k f'(\tau) + c k (c\tau + d)^{k-1}f(\tau).$$ Desde $\theta = \dfrac{1}{2\pi i} \dfrac{d}{d\tau},$ podemos reescribir esto como $$(c\tau + d)^{-(k+2)}(\theta f)(\alpha\tau) = (\theta f)(\tau) + \dfrac{c k}{2 \pi i(c\tau + d)} f(\tau),$$ o, equivalentemente, que $$(\theta f)\circ [\alpha]_{k+2}(\tau) = (\theta f)(\tau) + \dfrac{c k}{c \tau + d} f(\tau).$$

Por otro lado, $$(k P f)\circ[\alpha]_{k+2}(\tau) = k (P\circ[\alpha]_2)(f\circ [\alpha]_k)(\tau),$$ y por tanto, la fórmula de preguntar acerca de es equivalente a la fórmula $$P\circ [\alpha]_2(\tau) = P(\tau) + \dfrac{12 c}{2 \pi i(c\tau + d)}.$$

Esta es una fórmula estándar para $P$ (lo que muestra que a pesar de $P$ no es una forma modular de peso 2, no es tan lejos). Una forma de obtener es considerar el peso de 12 cuspform $\Delta = q\prod_{n = 1}^{\infty}(1 - q^n)^{24}.$ (Lo siento por el conflicto en la notación, sino $\Delta$ es la notación estándar aquí. El operador que te han marcado $\Delta$ es a menudo denotado $\delta$, tal vez para evitar precisamente este notacional conflicto).

Un cálculo (utilizando la fórmula del producto para $\Delta$) muestra que el $\theta(\log \Delta) = P.$ Ahora la escritura de la modularidad de la ecuación de $\Delta(\alpha \tau) = (c\tau + d)^{12} \Delta$ and applying $\theta$ para el registro de cada lado, nos encontramos con que, efectivamente, $P$ satisface la necesaria funcional de la ecuación, y así, la fórmula se le preguntó acerca de las suspensiones.

Como un aparte, tenga en cuenta que también se puede revertir este último argumento: supongamos que sabemos que la fórmula en la pregunta es verdadera. Aplicarlo a la forma modular $\Delta$, nos encontramos con que $\theta \Delta - P \Delta$ es un cuspform de peso $14$, pero no hay ninguna que no sea cero, tales cuspforms. Así nos encontramos con que $\theta\Delta = P\Delta,$ o, equivalentemente, que $\theta(\log \Delta) = P.$ Si nos fijamos en Serre del Curso de aritmética, usted verá que esta es la forma en que él demuestre la fórmula del producto para $\Delta$: verifica la ecuación funcional para $P$ directamente (en el caso especial al $\alpha = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ - 1 & 0\end{pmatrix}$; pero desde la ecuación funcional es obvio para $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},$ y ya que estas dos matrices generar $PSL_2({\mathbb Z})$, verificando que para esta elección de $\alpha$ es suficiente) y, a continuación, esencialmente se aplica el argumento que acabo de dar a deducir la fórmula del producto para $\Delta$.

Por cierto, recomiendo Serre del libro; como una introducción a las formas modulares es más corto y más clara que la de Lang. Si luego quiere ir más allá con la teoría, hay otros y mejores fuentes. (Por ejemplo, después de la lectura de Serre del libro usted podría tratar directamente la lectura de Atkin y Lehner del papel en newforms.)