$\int_0^\infty {x^a\over (x^2+1)^2} dx$ donde $0<a<1$.

Question

$\int_0^\infty {x^a\over (x^2+1)^2} dx$ donde $0<a<1$.

Sé que puedo uso parcial de la fracción de descomposición para obtener dos diferentes integrales, pero no estoy seguro de cómo integrarlos. Soluciones o sugerencias son muy apreciados.

Answer 1

El uso de la representación integral $$ (x^2+1)^{-2}=\int_0^\infty d\xi\ \xi\ e^{-\xi (x^2+1)} $$ para escribir $$ \int_0^\infty {x^a\(x^2+1)^2} dx=\int_0^\infty d\xi\ \xi\ e^{-\xi}\int_0^\infty dx\ x^e^{-\xi x^2} $$ $$ =\int_0^\infty d\xi\ \xi\ e^{-\xi}\frac{1}{2} \xi ^{-\frac{a}{2}-\frac{1}{2}} \Gamma \left(\frac{a+1}{2}\right)=\boxed{\frac{1}{2} \Gamma \left(\frac{3}{2}\right) \Gamma \left(\frac{a+1}{2}\right)} $$

Answer 2

La función de $z^{a}$ es holomorphic en el ranurada de avión $\mathbb{C}\setminus[0,\infty)$, con un salto de discontinuidad en la hendidura que es igual a $$ \lim_{\epsilon\downarrow 0} \{(x+i\epsilon)^{a}-(x-i\epsilon)^{a}\} = x^{a}(1-e^{2\pi i}) $$ Por lo tanto, $$ \int_{0}^{\infty}\frac{x^a}{(1+x^2)^2}dx=\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{1}{1-e^{2\pi ia}}\int_{C_{R}}\frac{z^{\alpha}}{(1+z^2)^2}dz, $$ donde $C_{R}$ es positivamente orientada al contorno de partida en $R+i0$ sobre el eje real, dando vueltas en sentido antihorario en el círculo de radio de $R$ centrada en el origen hasta llegar a $R-i0$, y, a continuación, siguiendo el eje real desde abajo hasta llegar a la de origen, y por último siguiendo el eje real de arriba de la espalda a $R+i0$. Para un gran $R$, el contorno encierra singularidades en $z = \pm i$, y, por Cauchy de la representación, \begin{align} \frac{1}{2\pi i}\int_{C_{R}}\frac{z^{\alpha}}{(z-i)^2(z+i)^2}dz & = \left.\frac{d}{dz}\frac{z^a}{(z+i)^2}\right|_{z=i}+\left.\frac{d}{dz}\frac{z^{a}}{(z-i)^2}\right|_{z=-i}. \end{align} Sólo los números y la simplificación después de eso.

Answer 3

Si usted sabe acerca de la $\text{B}$ $\Gamma$ funciones, puede primero vamos a $x^2=u$ y, a continuación, $t=\frac1{1+u}$ para obtener $$\begin{align}\int_9^{\infty}\frac{x^a}{(x^2+1)^2}dx&= \frac12\int_0^{\infty}\frac{u^{\frac{a-1}2}}{(1+u)^2}du =\frac12\int_0^1(1-t)^{\frac{a-1}2}t^{\frac{1-a}2}dt\\ &=\frac12\text{B}\left(\frac{a+1}2,\frac{3-a}2\right) =\frac12\frac{\Gamma\left(\frac{a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{3-a}2\right)}{\Gamma\left(2\right)}\\ &=\frac12\Gamma\left(\frac{a+1}2\right)\left(\frac{1-a}2\right)\Gamma\left(\frac{1-a}2\right)\\ &=\frac{1-a}4\cdot\frac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi(1-a)}2\right)} =\frac{\pi(1-a)}{4\cos\left(\frac{\pi a}2\right)}\end{align}$$