La función de Green, que también se denomina función de la respuesta, es un dispositivo que le permita lidiar con el lineal a problemas de valor de frontera (en la literatura también hay funciones de Green para el problema de valor inicial, pero permítanme que se adhieren a la mayoría de los clásicos de la imagen).
@achillehiu dio un buen ejemplo. Permítanme elaborar sobre ella. Por lo tanto, empezar con un sistema de ecuaciones algebraicas lineales de la forma
$$
Ax=y.
$$
Espero que usted no tiene dificultades en la solución de este problema. Pero permítanme que representan el lado derecho
$$
y_1e_1+\ldots+y_ne_n,
$$
donde $y_i$ son las coordenadas de los vectores $y$ $e_i$ son el estándar de la unidad de vectores, es decir, los vectores que tienen en la $i$-ésima posición y ceros en todas las demás.
Ahora, supongamos que yo considero que es $n$ problemas de:
$$
Ax=e_i,\quad i=1,\ldots,n
$$
con las soluciones de $x_i$ (estos son los vectores, no los componentes). La linealidad del problema implica inmediatamente que la solución a mi problema original puede ser escrito de forma automática como
$$
x=y_1x_1+\ldots+y_nx_n,
$$
que tiene los nombres de los grandes el principio de superposición. Es decir, tener a mi disposición, $x_1,\ldots,x_n$ I resolver inmediatamente cualquier problema con el arbitrario $y$.
(Espero que se tenga en cuenta que no descubrí nada nuevo aquí, ya que cada una de las $x_i$ es sólo una columna de la inversa de la matriz $A^{-1}$).
La idea general para la función de Green es hacer algo similar para ecuaciones diferenciales.
Ahora, permítanme considerar un valor de límite problema con un diferencial del operador:
$$
Lu=f,\quad u(0)=u(1)=0.
$$
Elijo $L=-d^2/dx^2$ a mantener las cosas tan simples como sea posible. Idealmente me gustaría hacer algo similar a lo que hicieron con el sistema de ecuaciones algebraicas lineales, ahora, sin embargo, yo vivo en un infinito espacio tridimensional y las cosas no son tan fáciles.
Hay varias formas de introducir la función de Green. Probablemente la más aburrida es para mostrar que mi valor en la frontera problema es equivalente a la ecuación integral
$$
u(x)=\int_{0}^{1}G(x;\xi)f(\xi)d\xi
$$
y definir esta $G$ a de la función de Green.
Podría decirse que la forma más natural para motivar a la función de Green es comenzar con una infinita serie de auxiliar de problemas
$$
-G"=\delta(x-\xi),\quad x,\xi\en(0,1),
$$
$\delta$ es la función delta, y yo digo que hay infinitamente muchos problemas, ya que tengo el parámetro de $\xi$. Para cada valor fijo $\xi$ $G(x,\xi)$ es un análogo de la $x_i$ por encima. La parte complicada de este enfoque es definir lo que delta-función (sólo comentar que es no una función). Pero permítanme ser un físico y decir que la función delta es mi modelo de una unidad de impulso, de tal manera que puedo representar a mi $f$ como una combinación lineal de los impulsos en cada punto de $\xi$ en el intervalo de con los correspondientes coeficientes, formalmente (este es el análogo de $y=y_1e_1+\ldots+y_ne_n$):
$$
f(x)=\int_0^1f(\xi)\delta(\xi-x)d\xi.
$$
Ahora, permítanme definir la función de Green como la solución a
$$
-G"=\delta(x-\xi),\quad G(0,\xi)=G(1,\xi)=0,
$$
si puedo encontrar esta $G$ entonces mi intuición física y la similitud con algebraicas problema me dice que mi solución para el problema de valor de frontera se expresa como la integral. Se puede demostrar que, de hecho, si puedo encontrar esta $G$
$$
u(x)=\int_0^1 G(x,\xi)f(\xi)d\xi
$$
como es requerido por el principio de superposición.
Intento mirar a estos dos problemas y darse cuenta de la inherente de similitud. La única pregunta que queda, por supuesto, es cómo encontrar esta $G$.
Aquí está un ejemplo de cómo encontrar la función de Green para el problema que he descrito. Desafortunadamente, este método no funcionará para obtener más general operador diferencial. Voy a utilizar el hecho de que
$$
\int \delta(x-\xi)d x=\chi(x-\xi),\quad \int \chi(x-\xi)dx=\rho(x-\xi),
$$
donde $\chi$ es la función de Heaviside y $\rho$ es la función de rampa.
Integrando dos veces mi ecuación puedo encontrar
$$
G(x,\xi)=-rho(x-\xi)+Ax+B.
$$
El uso de la primera condición de frontera llego $B=0$. Desde el segundo uno
$$
A=1-\xi.
$$
Por lo tanto
$$
G(x;\xi)=-\rho(x-\xi)+(1-\xi)x=\begin{cases}(1-\xi)x,&x\leq\xi,\\
(1-x)\xi,&x\geq \xi.
\end{casos}
$$
Se puede comprobar que el uso de la función que he encontrado la solución al problema en los comentarios puede ser escrito como
$$
u(x)=-10\int_0^1 G(x;\xi)\xi d\xi.
$$
