$e^{i\theta}$ versus $\cos\theta + i\sin\theta$

Question

Estoy enseñando un curso básico de matemáticas en la universidad, y he estado pensando en la parte de los números complejos. Específicamente, me preguntaba por qué debería incluir la fórmula de Euler en mi curso.

Esto me llevó a la siguiente pregunta de "gran lista", que me pareció interesante.

¿Qué puedes hacer con $e^{i\theta}$ que es mucho más difícil/imposible con $\cos\theta+i\sin\theta$?

Por ejemplo, $e^{i\theta}$ hace que sea fácil ver que $\operatorname{arg}(uv)=\operatorname{arg}(u)+\operatorname{arg}(v)$.

Answer 1

Hace que la Fórmula de De Moivre sea mucho más obvia. También raíces n-ésimas.

¿Son estos estudiantes de ingeniería? Es muy conveniente para tratar con corriente alterna.

Seguro que hay más, pero estos vienen a la mente primero.

También esto

Answer 2

Desarrollar productos de varios términos es doloroso en la notación $\text{cis}$ ya que el número de términos crece de forma exponencial.

Comparar

$$e^{ia}e^{ib}e^{ic}=e^{i(a+b+c)}$$

con

$$(\cos(a)+i\sin(a))(\cos(b)+i\sin(b))(\cos(c)+i\sin(c))=\\ \cos(a)\cos(b)\cos(c)-\sin(a)\sin(b)\cos(c)-\sin(a)\sin(c)\cos(b)-\sin(b)\sin(c)\cos(a)+\\i\sin(a)\cos(b)\cos(c)+i\sin(b)\cos(a)\cos(c)+i\sin(c)\cos(a)\cos(b)-i\sin(a)\sin(b)\sin(c)=\\ \cos(a+b+c)+i\sin(a+b+c).$$

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Ahora intenta hacerlo a mano

$$\frac{e^{ia}e^{ib}}{e^{ic}e^{id}}=e^{i(a+b-c-d)}$$y déjame saber.

Answer 3

Resulta trivial derivar las fórmulas de múltiples ángulos o semiangulares usando la identidad de Euler. La demostración geométrica es tediosa y difícil de visualizar, pero es fácil si usas el hecho de que $\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\cos(\theta)$ y $\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}=i \sin(\theta)$, y simplemente aplicas la identidad de Euler y las reglas para exponentes. Por ejemplo:

$$\begin{align}i \sin(\alpha + \beta) & =\frac{e^{i(\alpha + \beta)}-e^{-i(\alpha + \beta)}}{2} \\[1ex] &=\frac{e^{i\alpha}e^{i\beta}-e^{-i\alpha}e^{-i\beta}}{2} \\[1ex] &=\frac{(\cos(\alpha) + i \sin(\alpha))(\cos(\beta) + i \sin(\beta))-(\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha))(\cos(-\beta) + i \sin(-\beta))}{2} \\[1ex] &=\frac{(\cos(\alpha) + i \sin(\alpha))(\cos(\beta) + i \sin(\beta))-(\cos(\alpha) - i \sin(\alpha))(\cos(\beta) - i \sin(\beta))}{2} \\[1ex] &=\frac{(\cos(\alpha)\cos(\beta)+i \sin(\alpha)\cos(\beta)+i\cos(\alpha)\sin(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta))-(\cos(\alpha)\cos(\beta)-i \sin(\alpha)\cos(\beta)-i\cos(\alpha)\sin(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta))}{2} \\[1ex] &=\frac{2i \sin(\alpha)\cos(\beta) + 2i\cos(\alpha)\sin(\beta)}{2} \\[1ex] &=i(\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)) \end{align}$$

Por lo tanto,

$$\sin(\alpha + \beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$$

Answer 4

• Calcular integrales como $$\int_0^\infty\frac{\cos(x)}{1+x^2}dx$$ es difícil sin la identidad de Euler.
• La física de las ondas y la óptica se simplifica en gran medida.
• Las transformadas de Fourier son más fáciles de calcular y trabajar, y tienen un significado más intuitivo, creo.
• Hay muchas aplicaciones en la mecánica cuántica.
• Casi todas las identidades trigonométricas se derivan fácilmente a partir de esto.

Answer 5

El Análisis Complejo utiliza mucho el logaritmo. Como dijiste con $e^{i\theta}$ puedes hablar de manera más fácil sobre el argumento. Lo importante es que una rama del argumento existe si y solo si existe una rama del logaritmo.

Por lo tanto, el exponencial va de la mano con el logaritmo. También las expresiones $z^a$ son formas exponenciales...