Mostrar $$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{n+n^k x^k}{(1+\sqrt{x})^n}dx=0$$ for $k=1,2,3,...$ It's clear that the functions converge pointwise to $0$ on $(0,1]$ pero me parece que no puede encontrar una integrable dominante de la función. Cualquier sugerencias sería muy apreciada.
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Davide Giraudo
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Queremos aplicar el teorema de convergencia dominada, pero como te has dado cuenta, tenemos que comprobar que la función que han de integrar puede ser limitada por una función que no depende de $n$. $k$ es fija, así que pon $f_n(x)=\frac n{(1+\sqrt x)^n}+\frac{n^kx^k}{(1+\sqrt x)^n}$. Desde $(1+\sqrt x)^n\geq 1+n\sqrt x$, $x\neq 0$ $$\frac n{(1+\sqrt x)^n}\leq \frac n{1+n\sqrt x}\leq \frac 1{\sqrt x},$$ que es integrable. Ya para $k\leq n$ tenemos $(1+\sqrt x)^n\geq \sum_{l=0}^k\binom nl\sqrt x^l$, y así \begin{align*} \frac{n^kx^k}{(1+\sqrt x)^n}&\leq \frac{n^kx^k}{\sum_{l=0}^k\binom nl\sqrt x^l}\\ &\leq \frac{n^kx^k}{\binom nk\sqrt x^k}\\ &=k!\frac{n^k}{n(n-1)\cdots (n-k+1)}x^{\frac k2}, \end{align*} y tenemos para $n$ lo suficientemente grande, decir $\geq n_0$ obtenemos $\frac{n^k}{n(n-1)\cdots (n-k+1)}\leq 2$, por lo que para $n\geq n_0$ $$|f_n(x)| \le\frac 1{\sqrt x}+2k!\cdot x^{\frac k2},$$ que es integrable.
goric
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5230
He aquí un análisis más detallado de su integral. Por cambio de variables, escribir $$ \int_0^1 \frac{n+n^k x^k}{(1+\sqrt{x})^n}dx = {1\over n}\int_0^n \frac{2s(1+s^{2k}/n^{k+1})}{(1+s/n)^n}ds$$
Tenga en cuenta que fija $s$,$\displaystyle\frac{2s(1+s^{2k}/n^{k+1})}{(1+s/n)^n}\downarrow 2s\exp(-s)$, y que si $n\geq 2k+3$ $$\int_0^\infty \frac{2s(1+s^{2k}/n^{k+1})}{(1+s/n)^n}ds<\infty.$$ Así, por la convergencia dominada, $$n \int_0^1 \frac{n+n^k x^k}{(1+\sqrt{x})^n}dx\to \int_0^\infty 2s\exp(-s)\,ds=2.$$ En particular, el original de la integral es $O(1/n)$.
