Conmutativa anillos para algebraicas espacios en un salto?

Question

Normalmente, en el functor de puntos de enfoque, se construye la categoría algebraico de espacios por parte de la primera construcción de la categoría de local representable poleas para el mundial de la topología de Zariski (Esquemas) en $CRing^{op}$. Es decir, tomando la subcategoría de $Psh(CRing^{op})$, que se compone de objetos de $S$ que $S$ es una gavilla en el global de la topología de Zariski y $S$ tiene una cubierta por representables en la topología inducida por sobre $Psh(CRing^{op})$. Esta es la categoría de esquemas. Luego, una toma de esta categoría y lo equipa con el etale topología y repite la construcción de local representable poleas en este sitio (Sch con el etale topología) para obtener la categoría de algebraica de los espacios.

Podemos "saltar" a la categoría de esquemas completamente por poner un diferente topología en $CRing^{op}$?

Mi intuición es que, puesto que cada esquema puede ser cubierto por los cuñados, y cada algebraica de espacio pueden ser cubiertos por los esquemas, podemos cortar la mitad-hombre y acaba de definir algebraicas espacios localmente como representable poleas para el mundial de etale la topología en $CRing^{op}$. Si esto termina siendo el caso, ¿hay algún tipo de muy interesante, además de la generalización de antes de pilas, quizás tomando localmente representable poleas en un plano de Zariski-friendly de la topología como fppf o fpqc?

Motivación: En la geometría algebraica, todos nuestros datos proceden de anillos conmutativos en un functorial manera (intencionalmente vaga). Todos los grothendieck topologías con buen nociones de descenso utilizado en la geometría Algebraica puede ser expresada en términos de anillos conmutativos, por ejemplo, el algebraico y geométrico de las formas de Zariski Principal del teorema son equivalentes, podemos describir etale morfismos en términos de etale anillo de mapas, et cetera. Lo que estoy tratando de ver es si podemos o no podemos expresar en realidad todos los de la geometría algebraica como "zurdo álgebra conmutativa + poleas (incluyendo un mayor poleas como pilas)". El functor de los puntos de enfoque de los esquemas valida esta intuición en el caso más simple, pero, ¿es realmente generalizar aún más?

La cuestión principal está en cursiva, pero no dudes en decirme si he incorrectamente caracteriza algo en la motivación o en el fondo.

Answer 1

Sí. La categoría algebraico de los espacios es el más pequeño de la subcategoría de la categoría de las poleas de los conjuntos en Aff, el opuesto de la categoría de anillos, bajo el etale topología de que (1) contiene Aff, (2) es cerrada bajo la formación de cocientes por etale las relaciones de equivalencia, y (3) es cerrada bajo uniones disjuntas (indexados por arbitraria de conjuntos). Un resumen contexto de tales cosas está escrito en "Algebraization de los complejos de la analítica de variedades y categorías derivadas" por Toen y Vaquie, que está disponible en el archivo. Toen también tiene notas de un "máster" en las pilas en su página web con más información. Cabe señalar que la construcción de esta categoría también va por un procedimiento de dos pasos, aunque en su caso es una sola construcción se realiza de forma iterativa (y que se estabiliza después de dos pasos). Esto es a diferencia de la aproximación mediante el esquema de la teoría en el sentido literal, como localmente anillado de espacios topológicos, donde los dos pasos son completamente diferentes. Después de que el primer paso en T-V, se obtiene algebraicas espacios con afín a la diagonal. También vale la pena destacar es que su enfoque es completamente gavilla teórico. La única entrada que usted necesita es una categoría de modelos locales, una topología de Grothendieck, y una clase de las relaciones de equivalencia. Usted, a continuación, obtener algebraicas, espacios desde el triple (Aff, etale, etale). Pero el general de la máquina (que por cierto creo que no es en su forma final) no tiene nada que ver con anillos conmutativos. Creo que sería interesante plug opuestos de otras algebraicas categorías en ella.

Answer 2

Un Deligne--Mumford pila es un étale-localmente anillado topos que es localmente equivalente a la étale-localmente anillado topos de un esquema afín. Un Deligne--Mumford pila algebraica de espacio si su diagonal es una incrustación.