Aunque la respuesta ya está aceptado, siento que una adecuada derivación en el lenguaje de cálculo multivariable encaja aquí.
Todas las notas en física índice del uso de la notación de la curvatura del espacio-tiempo, yo prefiero el cálculo vectorial, así que voy a dar una presentación matemáticos mediante idiomas. Ecuaciones (2),(3),(4),(5),(6), y (7) en color azul son los resultados finales.
Supongamos $L(\phi,\,\,\phi_{,i},\,\,A_i, \dot A_i)=|\dot A+\nabla\phi|^2-|\nabla \times A|^2-c\phi+d\cdot A$
El Lagrangiano de Maxwell las ecuaciones deben tener $1/2$ factor en frente de los dos primeros términos (como el de la Física.SE pregunta, la derivación será casi el mismo con su Lagrange):
$$
L = \frac{1}{2}|\partial_t\mathbf{A} + \nabla \phi|^2 - \frac{1}{2}|\nabla \times \mathbf{A}|^2 - \rho\phi + \mathbf{J}\cdot \mathbf{A},
$$
donde me cambié la notación que usa $c$ $d$estándar de la industria $\rho$$\mathbf{J}$. Aviso de la $(\phi,\mathbf{A})$ par son los eléctricos y magnéticos pareja potencial.
Son los correspondientes Euler-Lagrange las ecuaciones a continuación: $c=0$ considerando $\phi$, y
$2(\dot\phi_{,i}+\ddot A_i)+d_i=0$ considerando $A_i$?
Debe haber algo mal con la derivación. Yo siempre prefiero usar el cálculo de las variaciones que se derivan de Euler-Lagrange ecuación, conocido también como principio de la menor acción para la acción funcional:
$$
\mathcal{S}[(\phi\mathbf{A})]:= \int^{t}_0\int_{\Omega} L \,d\mathbf{x}dt.
$$
Para algunos liso y simplemente conectado a $\Omega\subset \mathbb{R}^3$. La primera variación de esta acción funcional debe desaparecer:
$$
\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d}{d\epsilon} \mathcal{S}[(\phi\mathbf{A}) + \epsilon(\psi\mathbf{v})] = 0, \etiqueta{$\star$}
$$
para cualquier prueba de par $(\psi,\mathbf{v})$. La prueba de par satisfacer:
$$ \color{red}{\text{La prueba de par no cambie el valor de límite de } (\phi\mathbf{A}) \text{ en el espacio y el tiempo.}}
\etiqueta{$\dagger$}$$
es decir, la prueba de par satisfacer homogéneas las condiciones de contorno, por ejemplo, $\psi = 0$ o $\mathbf{v}\times \mathbf{n}_{\partial \Omega} = 0$ sobre el límite.
Por la arbitrariedad de la prueba de par $(\psi,\mathbf{v})$, podemos en primer lugar vamos a $\psi = 0$ en primer lugar, conectar la expresión de Lagrange en $(\star)$:
$$
0= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{d}{d\epsilon} \mathcal{S}[(\phi\mathbf{A}) + \epsilon(0,\mathbf{v})] \\
= \int^{t}_0\int_{\Omega} \Big(\partial_t \mathbf{A} + \nabla\phi)
\cdot\partial_t \mathbf{v}
-\nabla \times \mathbf{A} \cdot \nabla \times \mathbf{v}
+\mathbf{J}\cdot \mathbf{v} \Big)
\,d\mathbf{x}dt.\la etiqueta{1}
$$
Las dos primeras ecuaciones de Maxwell del sistema se obtiene por sustitución (suponiendo que todo lo que es suave):
$$\text{campo Magnético:}\quad \mathbf{B}= \nabla \times \mathbf{A},
\\
\text{campo Eléctrico:} \quad \mathbf{E} = -\partial_t \mathbf{A} - \nabla\phi.$$
Por lo que implica de Gauss la ley para el magnetismo, y la ley de Faraday, respectivamente:
\begin{align}
\color{blue}{\nabla \cdot \mathbf{B} = 0},\tag{2} \\
\color{blue}{\nabla \times \mathbf{E} = -\partial_t \mathbf{B}}.\tag{3}
\end{align}
De vuelta a la ecuación (1), tenemos:
$$
0 = \int^{t}_0\int_{\Omega} \Big( -\mathbf{E}\cdot\partial_t \mathbf{v}
-\mathbf{B} \cdot \nabla \times \mathbf{v}
+\mathbf{J}\cdot \mathbf{v} \Big)
\,d\mathbf{x}dt,
$$
la integración por partes en el espacio y el tiempo, utilizando el hecho de $(\dagger)$, tenemos por cualquier $\mathbf{v}$:
$$
0 = \int^{t}_0\int_{\Omega} \Big( \partial_t \mathbf{E}\cdot\mathbf{v}
-\nabla \times \mathbf{B} \cdot \mathbf{v}
+ \mathbf{J}\cdot \mathbf{v} \Big)
\,d\mathbf{x}dt.
$$
Esto produce que la ley de Ampère:
$$
\color{blue}{\nabla \times \mathbf{B} = \partial_t \mathbf{E} + \mathbf{J}}.\la etiqueta{4}
$$
Por último, vamos a $\mathbf{v} =\mathbf{0}$ en la prueba de par, integración por partes, una vez más y el uso de $\psi$'s de la condición de límite $(\dagger)$:
$$
0= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{d}{d\epsilon} \mathcal{S}[(\phi\mathbf{A}) + \epsilon(\psi\mathbf{0})] \\
= \int^{t}_0\int_{\Omega} \Big(\partial_t \mathbf{A} + \nabla\phi)
\cdot \nabla \psi\rho \psi\Big)
\,d\mathbf{x}dt
\\
= \int^{t}_0\int_{\Omega} \Big(-\mathbf{E} \cdot \nabla \psi\rho \psi\Big)
\,d\mathbf{x}dt
\\
= \int^{t}_0\int_{\Omega} \Big(\nabla \cdot\mathbf{E} \, \psi\rho \psi\Big)
\,d\mathbf{x}dt.
$$
Hemos llegado a la última pieza en las ecuaciones de Maxwell, de Gauss, de la ley para el campo eléctrico:
$$
\color{blue}{\nabla \cdot\mathbf{E} = \rho}. \etiqueta{5}
$$
La combinación de (2),(3),(4), y (5) los rendimientos de las ecuaciones de Maxwell.
Observación 1: aquí todo el medio de constantes relacionadas con el se establecen a $1$, también descuidar la velocidad de la luz $c$. La adición de la velocidad de la luz el Lagrangiano debe ser
$$
L' = \frac{1}{2}\left|\frac{1}{c}\partial_t\mathbf{A} + \nabla \phi\right|^2 - \frac{1}{2}|\nabla \times \mathbf{A}|^2 - \rho\phi + \frac{1}{c}\mathbf{J}\cdot \mathbf{A}.
$$
Observación 2: Aparte de la sustitución, el primero de Euler-Lagrange las ecuaciones obtenidas (ecuación (4)) en el índice de notación debe ser:
$$
\underbrace{\color{blue}{\varepsilon_{nmi}(\varepsilon_{ijk} A_{k,j})_{m}}}_{\nabla\times(\nabla \times \mathbf{A})} \color{blue}{+ }
\underbrace{ \color{blue}{\ddot{Un}_n + \dot{\phi}_{n} }}_{\partial_{tt}\mathbf{A} + \partial_t(\nabla\phi)} \color{blue}{= }\underbrace{\color{blue}{J_n}}_{\mathbf{J}}.\la etiqueta{6}
$$
También si el Lagrangiano se dio w/o el factor de $1/2$, la ecuación anterior debe tener un factor de $2$ en el lado izquierdo.
Si suponemos que el potencial magnético $\mathbf{A}$ es suave (por lo que podemos intercambio de la derivada de w.r.t el espacio y el tiempo) y la divergencia libre, entonces el segundo de Euler-Lagrange las ecuaciones debe ser simplemente la ecuación de Poisson:
$$
\color{blue}{-\Delta \phi = \rho}.\la etiqueta{7}
$$
En (6) y (7), $\rho$ $\mathbf{J}$ corresponden a OP $c$ $d$ respectivamente.
Estoy confundido por las variables dependientes en este Lagrangiano -- que se diferencian respecto a las diferentes variables, es decir, $\phi$ wrt elementos espaciales, mientras que $A_i$ wrt tiempo.
El eléctrico y el magnético potenciales, pueden ser funciones en el espacio y/o tiempo. En el no tan estricto plazo, magnético (eléctrica) campo cambiando junto con el tiempo de generación de rotación eléctrica (magnético) de campo.
Por otra parte, no $L$ ser también una función de $A_{i,j}$?
$L$ es ya una función $A_{i,j} := \partial_j A_i$, para ello dispone de un plazo de $\nabla \times \mathbf{A} $ cuyas $k$-ésima componente es $\varepsilon_{kji} \partial_j A_{i}$.
