Una valoración-como la función $w: \mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{N}$ $p$- ádico de valoración?

Question

Esta pregunta es una variante del problema 4, pg. 21, a partir de Birkhoff y Maclane, Una Encuesta de Álgebra Moderna.

Dada una función de $w: \mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{N}$ que se comporta como una valoración de la función, es decir,

(1) $ w(ab) = w(a) + w(b) $

(2) $ w(a+b) \geq \min(w(a), w(b)).$

Mostrar que es

1. constante $0$ función, $w(a) = 0$ o
2. un múltiplo de a $p$-ádico de valoración, en otras palabras $\forall a \in \mathbb{N}^+, w(a) = k v_p(a)$ algunos $p, k$ $v_p(p^\alpha d) = \alpha $ al $(p, d) = 1 $.

Tenga en cuenta que este problema es relativamente simple si $w$ se define sobre $\mathbb{Z}\backslash \{0\}$ en lugar de $\mathbb{N}^+$ cual es el problema que figuran en el libro. Mi pregunta es si la declaración más fuerte en la anterior también es cierto.

Mi actual prueba de esfuerzo es incompleta.

Si $\forall a,\ w(a) = 0$ hemos terminado. De lo contrario vamos a $n$ ser el menos número s.t. $w(n) \neq 0$. Fácil de mostrar a partir de (1) $n \neq 1$ desde $w(1) = 0$ y $n$ es primo.

Por única factorización y teorema (1) para obtener el resultado que sólo necesitan demostrar que para todos los números primos $p$, $p\neq n \implies w(p) = 0$.

Traté de continuar utilizando bien fundada de la inducción. Si $p \lt n$ hecho. De lo contrario,$p \gt n$. Si $n \gt 2$ $n, p$ son impares y $n+p$ es incluso por ende,$n+p=2q$. Ahora$n \nmid p$$n \nmid n + p$. Si $n \gt 2$ tenemos $n \nmid q$. Desde $q \lt p$ la hipótesis de inducción nos da $w(q) = 0$ y ya $n \gt 2$, $w(2) = 0$. Por lo tanto $w(n+p) = w(2q) = w(2) + w(q) = 0 \ge \min(w(n), w(p))$. Esto nos da que $w(p) = 0$.

Yo no puedo ver cómo solucionar el $n=2$ de los casos. En el caso de las $n=2$ solucionable, o hay un contraejemplo?

Quizá algunos datos útiles.

Si $w(2) \neq 0$ y cualquier otro $w(p')=0$ $p'$ prime, $p'\neq 2$ $w(p) =0$ para todos los números primos $p\neq2$. Fácil de probar, ya que cada prime $p$ es un múltiplo de menos de algunos de potencia $r$ $p'$ y por (1) $w(p^r) = 0$ y, luego, por (2) $w(p) = 0$.

No puede ser el caso de que $w$ se comporta de forma idéntica en todos los números primos, es decir, $w(p) = k$ para todos los números primos $p$ ya que es fácil de calcular, contraejemplos, por ejemplo, $2^2*5^2 + 3^5 = 7^3$ que se contradicen (2).

Por ello, debe ser distinta en algunos de los dos primos $p_1, p_2$. Esto le da dos distintas relativamente números primos donde w es igual, $ p_1^{w(p_2)} $$p_2^{w(p_1)}$. Tuve la esperanza de que esto llevaría a una contradicción, pero no he encontrado una manera de avanzar todavía.

Answer 1

Deje $w$ ser como en la pregunta, y se supone que es distinto de cero para dos números primos. Como ya se ha mencionado por user33433 en los comentarios, esto implica $w(n)>0$ todos los $n>1$, ya que cada número suficientemente grande es positivo combinación lineal de los dos primos. Podemos, de hecho, utiliza un argumento similar para estimar la tasa de crecimiento de $w$:

Lema 1: Si $a,b>1$ son coprime y $n>1$, luego $$\frac{\log n}{w(n)}\le\frac{\log a}{w(a)}+\frac{\log b}{w(b)}.$$

Prueba: Deje $k$ ser un entero grande, y $l=\lceil k(w(b)\log a+w(a)\log b)/\log n\rceil$. Desde $a^{w(b)k}$ $b^{w(a)k}$ son coprime, y $n^l\ge a^{w(b)k}b^{w(a)k}$, $u,v\ge0$ tal que $n^l=ua^{w(b)k}+vb^{w(a)k}$, lo que $$\left(1+\frac{k(w(b)\log a+w(a)\log b)}{\log n}\right)w(n)>w(n^l)\ge \min\{w(a^{w(b)k}),w(b^{w(a)k})\}=kw(a)w(b).$$ Multiplicando por $(\log n)/kw(a)w(b)w(n)$, obtenemos $$\frac{\log n}{kw(a)w(b)}+\frac{\log a}{w(a)}+\frac{\log b}{w(b)}>\frac{\log n}{w(n)}.$$ El lema sigue dejando $k$ ir hasta el infinito. QED

En consecuencia, $c:=\sup\{(\log n)/w(n):n>1\}$ es finito (y positivo), tenemos $$w(n)\ge\frac{\log n}c$$ para cada $n$, y $$w(p)\le\frac{2\log p}c$$ para todos, pero, posiblemente, uno de los prime $p$.

Esto es lo que tengo. El problema parece bastante difícil para mí, y parece estar relacionado más con el aditivo de la teoría de números (como el Waring–Goldbach problema) que la valoración de la teoría. Como un caso en punto, vamos a $\alpha>1$ ser una constante real, y definir $$w_\alpha(p)=\lceil\alpha\log p\rceil$$ para todos los números primos $p$, extendido a $\mathbb N^+$ usando (1). Tenga en cuenta que $\alpha\log n\le w_\alpha(n)\le\alpha\log n+\Omega(n)$ por cada $n$ donde $\Omega(n)\le\log_2n$ es el número de primos divisores de $n$. Qué $w_\alpha$ satisfacer (2)? Raro, porque uno puede presumiblemente encontrar un primer $q$ que puede ser escrito como $q=a+b$ donde $a,b$ son de similar magnitud, y cada uno de ellos tiene muchos factores primos $p$ que $\alpha\log p$ no está cerca de un entero, en cuyo caso los errores se suman para obtener $w_\alpha(a),w_\alpha(b)>w_\alpha(q)$. Sin embargo, no estoy seguro de cómo probar esto formalmente, y es aún más claro de cómo generalizar es arbitraria $w$ aproximadamente logarítmica de crecimiento. No me sorprendería si un contraejemplo existe, después de todo.

EDIT: La $w(n)=\lceil\alpha\log n\rceil$ ejemplo es, de hecho, descartado por las siguientes propiedades adicionales. Vamos \begin{align*} \alpha_0&=\liminf_{\substack{p\to\infty\\p\text{ prime}}}\frac{w(p)}{\log p},\\ \alpha_1&=\limsup_{\substack{p\to\infty\\p\text{ prime}}}\frac{w(p)}{\log p}. \end{align*}

Lema 2: $w(n)\ge\alpha_0\log n$ por cada $n$.

Prueba: basta mostrar $w(p)/\log p\ge\alpha_0$ por cada prime $p$. Deje $\epsilon>0$$m\in\mathbb N$, vamos a demostrar que existe un primer $q\ge m$ tal que $$\frac{w(q)}{\log q}\le(1+\epsilon)\frac{w(p)}{\log p}.$$ Deje $s$ ser el producto de todos los números primos por debajo de $m$ distinta de la de $p$. Fix $k$ tal que $k>3w(2)/\epsilon w(p)$, e $p^k>3s/\epsilon$. Poner $a_0=p^k-s$, $a_1=p^k+s$. A continuación,$a_0+a_1=2p^k$, por lo tanto, por (2), $$(1+\tfrac\epsilon3)\frac{w(p)}{\log p}\ge \frac{w(2)+kw(p)}{k\log p}\ge\min\left\{\frac{w(a_0)}{k\log p},\frac{w(a_1)}{k\log p}\right\}\ge(1+\tfrac\epsilon3)^{-1}\min\left\{\frac{w(a_0)}{\log a_0},\frac{w(a_1)}{\log a_1}\right\},$$ por lo tanto $$(1+\epsilon)\frac{w(p)}{\log p}\ge\frac{w(a_i)}{\log a_i}$$ para algunos $i=0,1$. Desde $w(a_i)/\log a_i$ es una combinación convexa de los valores de $w(q)/\log q$ para el primer divisores $q$$a_i$, tenemos $$(1+\epsilon)\frac{w(p)}{\log p}\ge\frac{w(q)}{\log q}$$ para algunos $q\mid a_i$. Por otra parte, la elección de $a_i$ asegura que $a_i$ es coprime a$p$$s$, por lo tanto $q\ge m$. QED

Lema 3: $w(p)\le\alpha_1\log p$ para todos, pero, posiblemente, uno de los prime $p$.

Prueba: Deje $p\ne q$ ser primos, $\epsilon>0$, e $m\in\mathbb N$, vamos a encontrar un primer $r\ge m$ tal que $$(1+\epsilon)\frac{w(r)}{\log r}\ge\min\left\{\frac{w(p)}{\log p},\frac{w(q)}{\log q}\right\}.$$ Deje $s$ ser el producto de números primos por debajo de $m$ otros de $p,q$. Elegir una lo suficientemente grande $k$, vamos a $l$ ser tal que $p^k\le sq^l\le p^{k+1}$, y considerar $a=p^k$, $b=sq^l$, $n=a+b$. Tenga en cuenta que $$\frac{\log n}{\log p^k},\frac{\log n}{\log p^l} \le\frac{\log n}{\log(p^k/s)}\le1+\frac{\log((p+1)s)}{k\log p-\log s}\le1+\epsilon$$ si $k$ es lo suficientemente grande, en cuyo caso $$\frac{w(n)}{\log n}(1+\epsilon)\ge\min\left\{\frac{kw(p)}{k\log p},\frac{lw(q)}{l\log q}\right\}.$$ Como en la prueba del Lema 2, la misma desigualdad es entonces satisfecho por un divisor primo $r\mid n$, que es coprime a $pqs$, por lo tanto $r\ge m$. QED

Los lemas de 2 y 3 nos dicen que todos, pero uno de $w(p)$ se encuentran ubicadas entre las curvas de $\alpha_0\log p$$\alpha_1\log p$, que ambos enfoque arbitrariamente cerca infinitamente a menudo, por lo tanto $w(p)$ oscila. También, si $\lim_{p\to\infty}w(p)/\log p$ existe (es decir, $\alpha_0=\alpha_1$), debemos tener $w(n)=\alpha\log n+\beta v_{p_0}(n)$ algunos $\alpha,\beta\ge0$ y un primer $p_0$; esta función hace efecto de satisfacer (1) y (2), pero la mayoría de sus valores no son números enteros. Por lo tanto, de valor entero $w(n)$ han $\alpha_0<\alpha_1$.