La "figura de ocho" nudo está integrado en el círculo de los tres-esfera. ¿Cuál es el grupo fundamental y la homología del complemento del nudo en $S^3$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
N. Owad
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Este es un ejemplo estándar en Rolfsen, sugiero que encontrar una copia de si se va a profundizar en este tipo de preguntas. Aquí hay un enlace a lo que él dice.
En primer lugar, la figura 8 nudo es también llamado $4_1$ (el primer nudo con 4 cruces). En la página 56 y 57 se describe el algoritmo para escribir el Wirtinger Presentación de un nudo diagrama. Y en el 58 se la da el grupo fundamental de un espacio Euclídeo de menos el nudo, $\pi_1(\mathbb{R}^3-4_1)$, que es el mismo que $\pi_1(S^3-4_1)$, lo cual responde a su primera pregunta.
Luego de la homología: es bien conocido el $H_1$ es el abelianization de $\pi_1$. Así te darás cuenta de que cuando uno deja todo en la $\pi_1(S^3-4_1)$ viaje, usted consigue sólo $\mathbb{Z}$. Esto es cierto para cada nudo.
De nuevo, yo le redirigirá a Rolfsen, página 50 para los otros grupos de homología. Que suceda $H_*(S^3-K)$ todo isomorfo a $H_*(S^3-S^1)\cong H_*(S^2)$. Intuitivamente, usted debe pensar acerca de la homología como no ser lo suficientemente fino como invariante a la captura de nudos. Sólo ve incorporado un círculo como la forma estándar incrustadas unknot.
