Una forma cerrada de número irracional con pocos dígitos distintos

Question

Estoy buscando un número irracional que no tiene todas las $b$ distintos dígitos en su base-$b$ representación y que puede ser expresada en "forma cerrada" para algunos definición razonable de los mismos.

Aceptable sería +, -, *, /, ^, el pecado, $\pi$, $e$, y nada más 'razonable'. Inaceptable sería algoritmos, independiente $\sum$ o $\prod$, "escribir en la base 2 y la interpretan en base a $b$", etc.

El problema puede ser difícil, en cuyo caso yo estaría dispuesto a aceptar una respuesta explicando que esto es así (idealmente con una referencia).

Answer 1

En cuanto duro: se cree que cada elemento irracional de el anillo de los períodos es un número normal. Por lo tanto, son excluidos. Esto ya excluye a una gran cantidad. $e$ también se conjetura que es normal. Básicamente, ya que todo, sino un conjunto de (Lebesgue) medida cero es normal, usted debe realmente tener que recurrir a construcciones (que son, en cierto sentido, artificial) para evitar los números de lo normal. Así que, esto excluye a la mayoría de las nociones de forma cerrada.

Answer 2

Considere la posibilidad de $b = 3$ donde tenemos los dígitos $0$, $1$, y $2$. Estamos buscando un número irracional (en forma cerrada) que ha ternario de expansión que se utiliza en la mayoría de dos de los tres dígitos. De hecho, tiene que usar exactamente dos dígitos, de lo contrario el resultado sería racional.

Para simplificar el problema de alguna manera, vamos a tratar de encontrar un número en $[0, 1]$. Ahora tenemos que considerar que los dos dígitos que aparecerá en el ternario de expansión; vamos a tratar de $0$$2$. Así que la pregunta es:

Para que $x \in [0, 1]$, $x$ tiene un ternario, representación que consta sólo de $0$$2$?

La respuesta es:

Los elementos del conjunto de Cantor.

Como el conjunto de Cantor es incontable y $\mathbb{Q}$ es contable, hay una cantidad no numerable de elementos irracionales del conjunto de Cantor. Si usted puede encontrar uno que coincida con sus criterios, ya está hecho. Por desgracia, no sé si tales elementos han sido expresamente encontrado