El Límite: $\lim_{x \to \infty}\frac{e^{f(x+a)}}{e^{f(x)}}$

Question

Me estoy haciendo un reto de revisar problemas y me preguntaba si esta prueba se veía correcto:

Supongamos que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser una función derivable con $\lim_{x \to \infty}f'(x)=1$$a \in \mathbb{R}$. Demostrar que el límite existe y encontrarlo. $$ \lim_{x \to \infty} \frac{e^{f(x+a)}}{e^{f(x)}} $$ Aquí es lo que yo hice, $$ \begin{align} \lim_{x \to \infty} \frac{e^{f(x+a)}}{e^{f(x)}}&=\lim_{n \to \infty}e^{f(x+a)}e^{-f(x)} \\ &=\lim_{x \to \infty}e^{f(x+a)-f(x)} \\ &=\lim_{x \to \infty}\left(e^{f(x+a)-f(x)}\right)^\frac{a}{a} \\ &=\lim_{x \to \infty}\left(e^\frac{f(x+a)-f(x)}{a}\right)^a \\ &=\left(e^{\lim_{x \to \infty}\frac{f(x+a)-f(x)}{a}}\right)^a \\ &=\left(e^{\lim_{x \to \infty}f'(x)}\right)^a \\ &=(e^1)^a\\ &=e^a \end{align} $$ Aunque carece de la explicación verbal de los pasos individuales para ser una "buena" de la prueba, a qué se parece esto la idea de derecho?

Answer 1

La prueba requiere cierta justificación adicional desde $$ \frac{f(x+a)-f(x)}{a}\ne f'(x)$$ en general. Sin embargo, tenga en cuenta que desde $L=\lim\limits_{x\to \infty}f'(x)$ existe, por cualquier $\epsilon >0$ tenemos algunos $N$ tal que $x\ge N\implies |f'(x)-L|<\epsilon$, por lo que para $x\ge n$ hemos $$\begin{align} \left|\frac{f(x+a)-f(x)}{a}-L\right| &=\left|\frac{1}{a}\int_x^{x+a}(f'(t)-L)dt\right|\\ &\le \frac{1}{a}\int_{x}^{x+a}|f'(t)-L|dt\\ &\le \frac1a\int_x^{x+a}\epsilon = \epsilon \end{align}$$ por lo tanto $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x+a)-f(x)}{a}=L$