Encontrar todos los $n$, de modo que $s(2^n)=s(5^n)$

Question

Deje $s(k)$ ser la suma de los dígitos del número de $k$. Encontrar todos los $n$, de modo que $s(2^n)=s(5^n)$

Tengo que $n=3$ es una solución. Y mirando módulo 9 es fácil conseguir que el 3 tiene que dividir $n$.

Answer 1

$n=0$ es otra. Parece muy improbable que hay alguna más, pero también difícil de probar. $2^6=64, 5^6=15625$ $2^9=512, 5^9=1953125$ fallar. $5^n$ tiene muchos más dígitos de $2^n$ que es difícil creer que $2^n$ puede alcanzarlo.

Answer 2

Como se observó durante la discusión de esta pregunta, los dígitos de $k^n$ se crean muy similar a la de un pseudo generador de números aleatorios, por lo que la heurística es que $s(k^n)$ sobre el promedio del valor de los dígitos veces la longitud del número decimal string: $$ s(k^n) \aprox h(k, n) = 4.5 \frac{\ln(k)}{\ln(10)} n $$

Como Ross Millikan señaló, esto hará que sea difícil para $s(2^n)$ a ponerse al día con $s(5^n)$. $s(2^n)$ tendría un $n$, con una desviación grande y/o una gran desviación hacia abajo de $s(5^n)$.

Ejemplo: $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} n & s(2^n) & h(2, n) & s(5^n) & h(5, n) \\ \hline 10 & 7 & 13 & 40 & 31 \\ 100 & 115 & 135 & 283 & 314 \\ 1000 & 1366 & 1354 & 3172 & 3145 \\ 10000 & 13561 & 13546 & 31117 & 31453 \\ 100000 & 135178 & 135463 & 313339 & 314536 \\ \end{array} $$

Answer 3

Una cosa a tener en cuenta es la distribución de los dígitos a través de $2^n$$5^n$.

Número de dígitos fórmulas:

$$\#_{2^n} = \left\lfloor\frac{n \log 2}{\log 10}\right\rfloor + 1$$

$$\#_{5^n} = \left\lfloor\frac{n \log 5}{\log 10}\right\rfloor + 1$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\#_{5^n}}{\#_{2^n}} = \log_2 5 \approx 2.32$$

El límite de la razón del número de dígitos en ambos números converge. Podemos decir cómodamente que la relación está definida para todos los números naturales (como está definida para todos los números reales).

Promedio de dígitos fórmulas:

$$\bar{d_{5^n}} = \frac{s(5^n)}{\#_{5^n}}$$

$$\bar{d_{2^n}} = \frac{s(2^n)}{\#_{2^n}}$$

Así, podemos hacer una declaración equivalente a $s(2^n) = s(5^n)$.

$$ \bar{d_{2^n}} = \frac{\#_{5^n}}{\#_{2^n}} \bar{d_{5^n}} $$

Ahora, consideramos que si o no que la segunda afirmación es posible para $n > 3$. La relación es $2$ tan pronto como $n = 8$, lo que significa que el promedio de los dígitos de la $2^n$ debe ser el doble que el de $5^n$, etc hasta la relación de $\log_2(5)$.

Usted necesita demostrar que es posible para algunos otros $n > 3$ o hay algo de $k$ para los que no es posible que a $n > k$.