Me pregunto si una expresión analítica de la máxima probabilidad de la estimación de Ornstein-Uhlenbeck está disponible. La instalación es la siguiente: Considerar unidimensional de Ornstein-Uhlenbeck $(X_t)_{t\geq 0}$ $X_0=x$ algunos $x\in\mathbb{R}$, es decir, $(X_t)_{t\geq 0}$ resuelve la SDE $$ \mathrm{d} X_t=\theta(\mu-X_t)\,\mathrm{d} t + \eta\,\mathrm{d} W_t,\quad X_0=x $$ donde $(W_t)_{t\geq 0}$ es un estándar de proceso de Wiener y $\eta,\theta>0$, $\mu\in\mathbb{R}$. Si $\lambda=(\eta,\theta,\mu)$ es el vector de parámetros, la transición de las densidades son conocidos y si $p_{\lambda}(t,x,\cdot)$ denota la densidad de $X_t$ (recuerden $X_0=x$) con respecto a la de Lebesgue-medir, entonces $$ p_{\lambda}(t,x,y)=(2\pi\beta)^{-1/2}\exp\left(-\frac{(y-\alpha)^2}{2\beta}\right)\quad y\in\mathbb{R}, $$ donde$\alpha=\mu+(x-\mu)e^{-\theta t}$$\beta=\frac{\eta^2}{2\theta}(1-e^{-2\theta t})$.
Supongamos que hemos observado un Ornstein-Uhlenbeck en tiempo equidistantes instancias (donde el parámetro de $\lambda$ es desconocido), es decir, el vector de observaciones se da por $$ \mathbf{x}=\{x_0,x_{\Delta},\ldots,x_{N\Delta}\}, $$ donde $x_0=x$ $\Delta>0$ $N+1$ es el número de observaciones. Entonces por la propiedad de Markov de $(X_t)_{t\geq 0}$ tenemos que la función de verosimilitud logarítmica está dada por $$ l(\lambda)=l(\theta,\eta,\mu;\mathbf{x})=\sum_{i=1}^N \log\left(p_{\lambda} (\Delta,x_{(i-1)\Delta},x_{i\Delta})\right). $$ Ahora me estoy preguntando si es posible maximizar esta expresión con respecto a $\lambda=(\eta,\theta,\mu)$ simultáneamente y si es así, ¿cómo se podría ir sobre hacer esto. Si alguien puede que me señale en la dirección de un documento/libro donde se muestra esto, sería muy apreciado. Gracias de antemano!
