He encontrado un ejemplo de norma Euclidiana fracaso en $\mathbb Z [\sqrt{14}]$?

Question

Basado en la prueba de que $\mathcal O_{\mathbb Q (\sqrt{-19})}$ no es Euclidiana, porque carece de universal lado divisores, he convencido a mí misma de que $\mathbb Z [\sqrt{14}]$ es la Euclídea porque tiene como universal lado divisores de números con una norma de $2$, por ejemplo, $4 + \sqrt{14}$ (aunque yo no he probado rigurosamente). Claramente un ejemplo de norma Euclidiana fallo debe involucrar a los números impares de las normas.

He estado buscando en $\gcd(3, 7 + 2 \sqrt{14})$. Hay una pregunta que viene como "similares" que da $\gcd(3, 3 + \sqrt{14})$ como un posible ejemplo de norma Euclidiana error (por todo lo que sé esta pregunta podría terminar siendo cerrado como un duplicado de la que uno). He hecho los cálculos con los dos pares, y he encontrado (a menos que he cometido errores), que en $3 = q(7 + 2 \sqrt{14}) + r$ resultados en el mayor $|N(r)|$$3 = q(3 + \sqrt{14}) + r$.

Pero incluso si he cometido errores de aritmética, esto todavía no probar cualquiera de estos ejemplos conduce a la norma Euclidiana fracaso.

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El 27 de julio de 2016: Justo lo que esperemos que no se puede decir que he términos indefinidos: "un ejemplo de norma Euclidiana fracaso" en este dominio me refiero a un par de números de $a, b$ en este dominio tal que es imposible encontrar números adecuados $q, r$ en este dominio para satisfacer $a = qb + r$$|N(a)| > |N(b)|$$|N(b)| > |N(r)|$.

Answer 1

A pesar de $\mathbb{Z}[\sqrt{14}]$ no es la norma Euclidiana, no ha demostrado todavía. Al menos, usted puede conseguir a través de un paso del algoritmo de Euclides:

$$3 = (7+2\sqrt{14})(-2+\sqrt{14}) + (-11 - 3\sqrt{14}),$$

y el valor absoluto de la norma de $-11 - 3\sqrt{14}$$5$, que es menor que el valor absoluto de la norma de $7+2\sqrt{14}$, que es 7.

AÑADIÓ: El señor Brooks: $(3,3+\sqrt{14})$, ciertamente, no trabajo. De hecho, usted puede escribir $$3 = (3 + \sqrt{14})(-4) + (15 + 4\sqrt{14})$$ y tenga en cuenta que $14 + 4\sqrt{14}$ es una unidad de modo que hemos probado a lo $3$ $3+\sqrt{14}$ son relativamente primos.

Por cierto, aquí está el truco para el uso de la norma para llevar a cabo un algoritmo de Euclides:

Objetivo: Dado $a$ $b$ en el anillo de los enteros, encontrar $q$ en el anillo de enteros tales que $$a = bq + r$$ y $N(r) < N(b)$.

Estrategia: Tomar el cociente $a/b$, que es en el campo de número, y tratar de encontrar algunas integral de la $q$ tal que $N(a/b -q) < 1$. A continuación, establezca $r = a - bq$ y observar que $$N(r) = N(a - bq) = N(a/b - q)N(b) < N(b).$$

De hecho, esto conduce a un método computacional para tratar de demostrar que un número anillo es una norma Euclidiana de dominio: Dado un campo de $K$ y el anillo de los enteros $\mathcal{O}$, intenta demostrar que:

Para todos los $x \in K$ existe $y \in \mathcal{O}$ tal que $N(x-y) < 1$.

Esto le da un enfoque geométrico para el problema.

Hay varios buenos papeles por J. P. Cerri que discutir norma Euclidiana dominios. Realmente les recomiendo si usted está interesado en este tema (en adicionales de curso a la encuesta papeles por Lenstra y por Lemmermeyer).

La PRUEBA de que $\mathbb{Z}[\sqrt{14}]$ no es una norma Euclidiana de dominio: No estoy seguro de lo que el estándar de prueba es, pero aquí hay uno que creo que funciona:

Considere la posibilidad de $x = (1+\sqrt{14})/2$. Queremos mostrar que para cualquier $y \in \mathbb{Z}[\sqrt{14}]$ que $N(x+y) > 1$. Escribir $y = a + b\sqrt{14}$, $a$ $b$ enteros. A continuación, supongamos que $$N(x+y) = \left|\left(a+\frac12\right)^2 - 14\left(b+\frac12\right)^2\right| = \left|a^2 + a - 14b^2 - 14b -\frac{13}{4}\right| < 1.$$ Desde $a$ $b$ son enteros, las posibilidades son $$a^2 + a - 14b^2 - 14b = 3 \text{ or } 4.$$ Podemos descartar $3$ debido a que el lado izquierdo es siempre igual. Para descartar 4, se observa que el $a^2 + a$ sólo puede igual a 0, 2, 6 o 12 modulo 14, y, en particular, nunca es igual a 4 modulo 14. Así que tenemos una contradicción, demostrando que $\mathbb{Z}[\sqrt{14}]$ no es la norma Euclidiana.

Hay otra prueba en PlanetMath.