Si un prime puede ser expresado como la suma de los cuadrados de dos números enteros, entonces demostrar que la representación es única.

Question

Si un prime puede ser expresado como suma de dos cuadrados, demostrar que la representación es única.

Mi intento:
Si $a^2+b^2=p$, entonces es obvio que $a,b$ de distinta paridad.
Ahora, supongo que la contraposición que la representación no es el único, $p=a^2+b^2=c^2+d^2$. De nuevo, $c,d$ son de distinta paridad.

Ahora, vamos a $b,d$ ser incluso y $a,c$ ser impar.

Por eso, $a^2+b^2=c^2+d^2 \implies a^2-c^2=d^2-b^2 \implies (a+c)(a-c)=(d-b)(d+b)$.

No puedo continuar. Por favor, ayudar.

Answer 1

La más pulida manera es a través de un poco de la Teoría Algebraica de números. Si $p=a^2+b^2=c^2+d^2$ $$p=(a+bi)(a-bi)=(c+di)(c-di)$$ Now ${\bf Z}[i]$ is a unique factorization domain, so these two factorizations of $p$ show that $a+bi$ can't be a prime in ${\bf Z}[i]$. We must have a non-trivial factorization $a+bi=(s+ti)(u+vi)$, whence $a-bi=(s-ti)(u-vi)$, and then $$p=(s^2+t^2)(u^2+v^2)$$ contradicting primality of $p$.

Hay maneras de responder a su pregunta sin estos conceptos avanzados, pero nunca recuerdo cómo se hace. Estoy seguro de que alguien más lo hará.

Answer 2

He aquí una respuesta sin la Teoría Algebraica de números. La encontré en los Mangos, Resueltos y sin resolver los Problemas de Teoría de números.

Asumir $$p=a^2+b^2=c^2+d^2\tag1$$ with all variables positive integers. Then $$p^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$$ and you can verify by just multiplying everything out that $$p^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\tag2$$ and $$p^2=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\tag3$$ By (1), we have $$(p-a^2)d^2=(p-c^2)b^2$$ which implies $$p(d^2-b^2)=(ad-bc)(ad+bc)\tag4$$ From (4), $p$ divides $ad-bc$, or $p$ divides $ad+bc$. If $p$ divides $ad-bc$, then from (2) we get $ad-bc=0$, so $d^2-b^2=0$, so $b=d$. If $p$ divides $ad+bc$, then from (3) we get $ac=bd$. Now $a$ and $b$ are relatively prime, so $a$ divides $d$, and $b$ divides $c$. Then by (1) we have $a=d$, and we have proved that the two representations of $p$ son los mismos.

Esto es probablemente algo parecido a lo que @Konstantinos estaba recibiendo en su respuesta.

Answer 3

Si $p=a^2+b^2=c^2+d^2$ $$p=\frac{(ac+bd)(ac-bd)}{(a+d)(a-d)}$$