Es posible que $|z+\sum_{i\not=1} a_i z^i| <1$ algunos $a_i \in \mathbb{C}$, y para todos los $|z|=1$?

Question

Me pregunto que si existe un polinomio complejo de la forma $$ P(z)= z+\sum_{i\not=1} a_iz^i, a_i,z\in \mathbb{C},$$ (i.e. its first order term has coefficient 1) s.t. its modulus is less than 1 on $|z|\leq 1$, es decir,

$$ |P(z)|<1,\forall |z|\leq 1. $$

Sé que por el módulo de máxima principio, sólo necesitamos encontrar $$ |P(z)| <1, \forall |z|=1.$$

No existen tales polinomio? He probado el polinomio de chebyshev, pero no obtener a través de. Alguna idea?

Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Sugerencia: de Cauchy de la integral de la fórmula nos dice que el $\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\oint_{|z| = 1}\dfrac{P(z)}{z^2}\,dz = P'(0) = 1$.

Ahora supongamos $|P(z)| < 1$ todos los $|z| = 1$. No ves la contradicción?