Encontrar un vector unitario perpendicular a otro vector

Question

Por ejemplo, tenemos el vector $8i + 4j - 6k$ ¿Cómo podemos encontrar un vector unitario perpendicular a este vector?

Answer 1

Dejemos que $\vec{v}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ un vector perpendicular al suyo. Su producto interior (el producto punto - $\vec{u}.\vec{v}$ ) debe ser igual a 0, por lo tanto: $$8x+4y-6z=0 \tag{1}$$ Elige, por ejemplo, x,y y encuentra z a partir de la ecuación 1. Para que su longitud sea igual a 1, calcula $\|\vec{v}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ y dividir $\vec{v}$ con ella. Su vector unitario sería: $$\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$$

Answer 2

Felicidades por las más de 10.000 visitas. Me gustaría combinar las buenas respuestas anteriores en un algoritmo.

Dado un vector $\vec x$ no es idéntico a cero, una forma de encontrar $\vec y$ tal que $\vec x^T \vec y = 0$ es:

1. empezar con $\vec y' = \vec 0$ (todos los ceros);
2. encontrar $m$ tal que $x_m \neq 0$ y elegir cualquier otro índice $n \neq m$ ;
3. set $y'_n = x_m$ y $y'_m = -x_n$ , estableciendo potencialmente dos elementos de $\vec y'$ no es cero (tal vez uno si $x_n=0$ no importa);
4. y, por último, normaliza tu vector a la unidad de longitud: $\vec y = \frac{\vec y'}{\|\vec y'\|}.$

(Me refiero a la $n$ elemento de un vector $\vec v$ como $v_n$ .)

Answer 3

Cada respuesta aquí da la ecuación $8a+4b-6c=0$ . Ninguno menciona que esta ecuación representa un plano perpendicular al vector dado. Estoy seguro de que la omisión fue un descuido de cada encuestado. Pero merece una mención y un énfasis. En el plano perpendicular a cualquier vector, el conjunto de vectores de longitud unitaria forma un círculo. Por lo tanto, las respuestas variarán. Los vectores $(-1,2,0)^t$ y $(2,0,3)^t$ puede elegirse como base para el espacio de soluciones del plano: resolver para a, dividir por 8, y dejar que $2b$ y $3c$ sean variables independientes. Puedes dividir cada una por su longitud $\sqrt{5}$ y $\sqrt{13}$ respectivamente, y tomar una combinación trigonométrica de ellos para obtener una solución general.

Answer 4

Un vector $v=ai+bj+ck$ es perpendicular a $w=8i+4j-6k$ si y sólo si $$v\cdot w=8a+4b-6c=0.$$ Así, por ejemplo, podríamos elegir $a=1,b=1,c=2$ para que $v=i+j+2k$ . Pero esto no es un vector unitario: $$\|v\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}.$$ Sin embargo, para cualquier número $t$ es el caso que $\|tv\|=|t|\cdot\|v\|$ y $(tv)\cdot w=t(v\cdot w)$ . Esto nos muestra cómo modificar nuestro vector $v$ para obtener un vector unitario que siga conservando la propiedad de ser perpendicular a $w$ . Específicamente, $$u=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot v=\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)i+\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)j+\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)k$$ satisface $$\|u\|=\frac{1}{\sqrt{6}}\|v\|=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\sqrt{6}=1,$$ para que $u$ es un vector unitario, y $$u\cdot w=\frac{1}{\sqrt{6}}(v\cdot w)=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot0=0,$$ para que $u$ es perpendicular a $w=8i+4j-6k$ .

Answer 5

Dos pasos:

Primero, encontrar un vector $a\,{\bf i}+b\,{\bf j}+c\,{\bf k}$ que es perpendicular a $8\,{\bf i}+4\,{\bf j}-6\,{\bf k}$ . (Establece el producto punto de los dos igual a 0 y resuelve. En realidad se puede establecer $a$ y $b$ igual a 1 aquí, y resolver para $c$ .)

Luego divide ese vector por su longitud para convertirlo en un vector unitario. Este vector unitario seguirá siendo perpendicular a $8\,{\bf i}+4\,{\bf j}-6\,{\bf k}$ .