Surjective mapas dada por palabras, redux

Question

Me preguntó hace algún tiempo:

Deje $w(X,Y)$ ser una palabra en $X$ $Y$ (es decir, un elemento en el grupo libre en $X$$Y$). Deje que las variables $x$ $y$ ahora oscilan entre los elementos de $SL_n(K)$, $K$ un algebraicamente cerrado de campo.

Para que $w$ es el caso que, por $x$ genérico, la imagen del mapa dada por

$y \rightarrow w(x,y)$

no es Zariski-densa?

Parece que el mapa tiene Zariski densos de la imagen para la mayoría de los w que uno puede tratar. Al mismo tiempo, como dije cuando me preguntó por primera vez la pregunta, la imagen del mapa de $y \rightarrow w(x,y)$ no es Zariski-denso para $w(x,y) = y x y^{-1}:$ la imagen del mapa está contenida en la clase conjugacy de $x$.

Por el mismo razonamiento, la imagen del mapa de $y \rightarrow w(x,y)$ no es Zariski-denso para $x$ genérico al $w$ es de la forma

$w(x,y) = v(x, u(x,y)^{-1} x u(x,y)),\ (*)$

donde $v$ $u$ son algunas de las palabras. La pregunta puede ser hecha precisa: son todos los ejemplos de esta forma? Que es: es el caso de que, por todas las palabras $w(x,y)$ no de la forma especial de $(*)$, la imagen del mapa de $y\rightarrow w(x,y)$ es Zariski-denso para $x$ genérico?

Yo estaría muy interesado en la respuesta correcta, incluso en el caso de $n=3$. Sospecho que la respuesta es "sí", al menos para $n=2$. Al mismo tiempo, sería más agradable si se tratara de "no".

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[El enfoque más evidente puede ser la de tomar los derivados en el origen. Sin embargo, aunque esto a menudo resulta que un mapa es surjective, no prueba que un mapa no es surjective - y en este problema deja demasiados candidatos de palabras posibles w para que el mapa de $y\rightarrow w(x,y)$ podría no ser surjective pero probablemente es en realidad.

Para aquellos que han preguntado acerca de la característica: si la característica es finito, se puede asumir que es mucho mayor que la suma de los valores absolutos de los exponentes de la palabra que estamos considerando. En otras palabras, no dejemos de considerar las cosas como $y\rightarrow y^p, p = char(K)$.

Answer 1

Usted necesita algunas condiciones en K para hacer sentido de la pregunta. Por ejemplo, y ⟼ y² no es surjective cuando K = ℝ y n = 2, porque no se puede llegar a [[-1,0],[0,-2]]. Por supuesto, podría haber significado surjectivity en el sentido algebraico de los grupos, en lugar de en el sentido de conjunto de la teoría de grupos. Pero creo que sólo las cantidades a pedir K algebraicamente cerrado. Hay otro problema, cuando el K tiene la característica p. En este caso y ⟼ y^p no es surjective; su imagen es sólo el diagonalizable matrices.

La conjetura como se indicó parece plausible cuando K = ℂ. O si K tiene característica positiva y es algebraicamente cerrado, quizás podría pedir una Zariski densos de la imagen.

Actualizaciones:

Re Tom comentario: creo que Harald la pregunta es bastante clara, aunque estoy de acuerdo en que uno tiene que trabajar un poco para ver lo que él significa. Él quiere decir que w es un elemento del grupo libre en las letras x e y, por supuesto. La segunda objeción no es también esencial. La pregunta puede ser formulada como: Para cada w, ¿cuáles son la topología de Zariski propiedades del conjunto de todos los x para los cuales y ⟼ w(x,y) es surjective? Creo que Chevalley del teorema sobre la edificable imágenes le dice que el conjunto de x es edificable, por lo bien que contiene un abierto Zariski o es disjunta de un abierto Zariski.

Re Harald comentario sobre si-y sólo si las condiciones. Usted probablemente ha pensado en esto, pero aquí va de todos modos. Si su derivada es no singular para cualquier z, luego la w-map es Zariski densa. Por supuesto, no son interesantes los mapas en la geometría algebraica que se Zariski densa, pero no surjective. Usted parece sugerir que eso no puede suceder aquí, pero no sé cómo demostrarlo.