En contra de la intuición de la PDE

Question

Después de pensarlo por un rato y consultar a otros estudiantes, nadie parece ser capaz de encontrar un ejemplo de los siguientes:

Dada la PDE

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 0 \quad $ $U = { (x,y) \in \mathbb R^2 ; y>0, 1 < x^2 + y^2 < 4}$

Estoy buscando una solución a$f$, que no depende sólo de $y$.

¿Cómo puede ser esto?!

El ejercicio es tomar la forma de Lee "Introducción a la suave colectores", pág. 517 al final del capítulo sobre el teorema de Frobenius.

(Nota: Según la fe de erratas, la condición en $U$$y > 0$, no $x > 0$ como su copia de el libro pudo estado).

Gracias de antemano!

S. L.

Answer 1

El Valor medio Teorema implica que cualquier función f diferenciable en U debe ser constante w.r.t. x para cualquier fijo y.

Hay un error en el texto que debe decir y>0 en lugar de x>0. (ver http://www.math.washington.edu/~lee/Libros/Liso/fe de erratas.pdf)

Answer 2

Voy a utilizar la versión corregida mencionado por Douglas, es decir, $U$ será el dominio definido por $y>0$$1< x^2 +y^2< 4$. Considere la posibilidad de una $C^\infty$ función de $\phi (y)$ que es igual a $1$ negativo $y$, $0$ para $y\geq 1/2$ y estrictamente decreciente para $0 < y < 1/2$.

La función requerida $f$ se define por:

$f(x,y) =-\phi (y)$ si $(x,y)\in U$ $x\leq 0$

$f(x,y) =+\phi (y)$ si $(x,y)\in U$$x\geq 0$.

No sólo dependen de la $y$ desde $f(-3/2,1/4)<0$$f(+3/2,1/4)>0$. Sin embargo, tenemos $\dfrac {\partial f}{\partial x}=0$

PS El Valor medio Teorema no se aplica debido a que el segmento que une los dos puntos de $(-3/2,1/4)$ $(+3/2,1/4)$ (por ejemplo) es no completamente incluido en $U$.

Answer 3

$f$ puede ser local, pero no a nivel mundial independiente de $x$.

Para $|y| < 1$ la función puede tener diferentes valores en los lados izquierdo y derecho del anillo. La restricción de la función a la izquierda o a la derecha sólo depende de $y$. Por ejemplo, $f = {\rm sgn(x)}(1-y^2)$ $|y| \leq 1$ $0$ en el resto de la región.

(restaurado tras la corrección del problema.)