Ejemplos y más resultados sobre el fin de que el producto de dos elementos en un grupo de

Question

Deje de $G$ ser un grupo y que $a,b$ dos elementos de $G$. ¿Qué podemos decir acerca de la orden de su producto $ab$?

Wikipedia dice que "no mucho":

No hay ninguna fórmula general relativa a la orden de un producto de $ab$ a las órdenes de $a$ y $b$. De hecho, es posible que tanto $a$ y $b$ son limitados orden, mientras que $ab$ tiene una infinidad de orden, o que tanto $a$ y $b$ infinito de orden, mientras que $ab$ tiene orden finito.

Por otro lado no se proporcionan ejemplos. $(\mathbb{Z},+),$ 1 y $-1$ dar un ejemplo de los elementos de la sucesión infinita con producto finito de orden. No se me ocurre ningún ejemplo de otro tipo! Así:

• ¿Cuál es un ejemplo de un grupo $G$ y dos elementos $a,b$, tanto de orden finito tal que su producto tiene una infinidad de orden?

---

Wikipedia dice después:

Si $ab = ba$, por lo menos podemos decir que $\mathrm{ord}(ab)$ divide a $\mathrm{lcm}(\mathrm{ord}(a), \mathrm{ord}(b))$

que es fácil de probar, pero no es muy eficaz. Así:

• ¿Cuáles son algunos resultados similares sobre el pedido de un producto, tal vez con algunas hipótesis adicionales?

Answer 1

Ejemplos sencillos son dadas por productos gratis, asumiendo que usted sabe la forma normal para un producto libre; de lo contrario, realmente no estoy diciendo mucho.

Si quieres un ejemplo más concreto, tome los $2\times 2$ matrices con coeficientes en $\mathbb{Q}$, y $$a = \left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right),\qquad b=\left(\begin{array}{cc}0 & 2\\\frac{1}{2}& 0\end{array}\right).$$ Entonces $a^2=b^2=1$, pero $$ab = \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 0 \\0 & 2\end{array}\right)$$ tiene una infinidad de orden.

Si $a$ y $b$ el viaje, con $\mathrm{ord}(a)=m$ y $\mathrm{ord}(b)=n$, entonces usted puede hacer mejor que la Wikipedia. Tenemos que: $$\frac{\mathrm{lcm}(m,n)}{\mathrm{mcd}(m,n)}\quad\text{divide}\quad \frac{\mathrm{lcm}(m,n)}{|\langle x\rangle\cap\langle y\rangle|}\quad\text{divide}\quad \mathrm{ord}(ab)\quad\text{divide}\quad \mathrm{lcm}(m,n).$$ Por ejemplo, si para cada prime $p$ que divide a $\mathrm{lcm}(m,n)$, la mayor potencia de p $$ que divide $m$ es diferente de la mayor potencia de p $$ que divide a $n$, entonces $\mathrm{ord}(ab)=\mathrm{lcm}(m,n)$.

Si usted está dispuesto a imponer condiciones a nivel global (condiciones en $G$), entonces por ejemplo Easterfield demostrado en 1940, que si $G$ es un $p$-grupo de clase $c$, $a$ es de orden $p^{\alpha}$ y $b$ ha pedido $p^{\beta}$, entonces el orden de $ab$ es en la mayoría de los $p^m$, donde $$ m = \max\left\{\alpha,\beta+\left\lfloor\frac{c-1}{p-1}\right\rfloor\right\}.$$ A partir de esto se puede obtener resultados similares para un finito nilpotent grupo (que es necesariamente un producto de $p$-grupos), y por lo tanto el producto de dos elementos de orden finito en cualquier nilpotent grupo (o de hecho, en cualquier nivel local nilpotent grupo, o incluso con más fuerza, en cualquier grupo en el que los 2-subgrupos generados son nilpotent).

Answer 2

Producto de dos elementos de orden infinito = elemento finito de orden?

Deje de $G$ ser cualquier grupo que contiene un elemento de $una$ de orden infinito. Entonces $a$ es evidente que no la identidad, de $e$ de G, desde $ord(e) = 1$, que es finito. Ni puede $a$ ser su propio inverso, ya que significaría $ord(a) = 2$, también finito.

Por lo que debe existir un elemento $b$ tales que $b$ a = $a^{-1},\, b \neq a,\, b \neq e$, ya que para cada elemento de $x \in G,\; x^{-1} \in G$, y de ello se sigue que $ord(a) = ord(a^{-1}) = ord(b)$. Por tanto, $b$,$$, es de orden infinito Ahora claramente, $a * b = a*a^{-1} = e \in G$, y, por supuesto, el orden de $e$ es finito. Así tenemos que si un conjunto tiene un elemento de orden infinito, también tiene un elemento de orden finito, que es el producto de dos elementos de orden infinito.

---

Producto de elementos finitos de orden = elemento de orden infinito?

Un ejemplo más concreto de dos elementos de orden finito, el producto de la cual es de orden infinito:

Tomar $G=GL_2(\mathbb{Z})$, y dos elementos de $A$ y $B$ tal que $$A = \left(\begin{array}{cc}-1&1\\0&1\end{array}\right),\qquad B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right).$$ $A$ y $B$ cada uno tiene orden 2, sin embargo, hay productos $AB$ es de orden infinito: $$AB = \left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)$$ Para ver esto, observe que $$(AB)^n = \left(\begin{array}{cc}1&n\\0&1\end{array}\right)$ $ , que es la matriz de identidad solo para $n = 0$.

También, el producto de $$BA = \left(\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}\right) = (AB)^{-1}$$ tiene una infinidad de orden. Así que aquí de nuevo, usted tiene $(AB) (AB)^{-1} \en GL_2(\mathbb{Z})$, tanto de orden infinito, cuyo producto es de $I_{2x2}$, finito de orden!

Answer 3

Aquí está una reformulación de la pregunta que creo que bien ilustra el valor de pensar en términos de propiedades universales. Vamos a $n m$ ser de dos enteros positivos. Hay un grupo de $C_n * C_m$, el producto libre de grupos cíclicos $C_n, C_m$, con la presentación de $\langle a, b | a^n, b^m \rangle$. Cumple las siguientes universal de los bienes:

Deje de $G$ ser un grupo con elementos $g), h)$ tal que $g^n = h^m = 1$. Entonces no hay una única homomorphism $\phi : C_n * C_m \G$ tal que $\phi(a) = g, \phi(b) = h$.

Dependiendo de cuán cómodo se siente con la presentación de un grupo de generadores y relaciones, esto puede ser obvio. Sin embargo, la existencia de la libre producto de $C_n * C_m$ es útil porque nos permite replantear una pregunta acerca de una clase entera de los grupos (la clase de los grupos con un elemento de orden $n$ y un elemento de orden $m$) en una pregunta acerca de un solo grupo:

Es cierto que $(ab)^k = 1$ $k$ en $C_n * C_m$?

Tenga en cuenta que sólo hay dos posibilidades: o $ab$ ha pedido de $k$ $k$, lo que significa que $gh$ ha pedido (dividir) $k$ en cualquier grupo $G$ que $g^n = 1, h^m = 1$, o $ab$ tiene orden infinito. En particular, es imposible para $gh$ a siempre tener algo finito pero arbitrariamente alto orden (ya que ello necesariamente implica que $ab$ tiene una infinidad de orden). Este es un caso especial de una manera muy general teorema de la lógica de primer orden se llama el teorema de compacidad.

Pero ahora debe ser intuitivamente obvio que $ab$ tiene orden infinito. Más explícitamente, debe ser intuitivamente obvio que los elementos de $C_n * C_m$ son los elementos de los grupos gratis $F_2 = \langle a, b \rangle$ en $a, b$ tal que $a, a^{-1}$ no aparecen $n$ veces en una fila y $b, b^{-1}$ no aparecen $m$ veces en una fila, con el evidente multiplicación (cancelar todas las evidentes relaciones), y en este grupo no hay ningún relaciones cancelar en la palabra de dólares(ab)^k$.

Por supuesto, esto no es una prueba. (Creo que se sigue de las propiedades estándar de libre grupos, pero de lo que he escrito no es una prueba.) Pero lo que estoy tratando de hacer aquí es que usted no necesita ver ejemplos explícitos para estar convencidos de que esto es intuitivamente cierto. Sin duda, escribir ejemplos explícitos (niza cocientes de $C_n * C_m$) es probablemente la manera más fácil responder a esta pregunta en particular, sino para las preguntas más generales sobre el grupo generado por dos elementos finito de orden (por ejemplo, $a^{-1} b$ infinito orden en $C_n * C_m$?) es bueno ser consciente de que no es un objetivo que debe ser el objetivo de: entender el grupo específico de $C_n * C_m$.

Tan lejos como escribir ejemplos explícitos, aquí, ahora es una oportunidad para ilustrar el valor de pensar en términos de la teoría de la representación en el sentido general. Tomar dos matrices aleatorias de pedidos de más de $n$ y $m$. Su producto debe tener infinitas orden con una probabilidad de 1$$; de hecho, se debe generar $C_n * C_m$ con una probabilidad de 1$$. Una manera fácil de generar este tipo de matrices es sólo para conjugada de una matriz que, obviamente, ha de orden $n$ o $m$ (por ejemplo, una adecuada permutación) por una matriz aleatoria.

El valor de hacer esto es que hay un montón de fácil de verificar las condiciones que implican que una matriz tiene una infinidad de orden: por ejemplo, si se trata de un $d$-dimensiones de la matriz con seguimiento de más de $d$ en valor absoluto, entonces debe haber un infinito de orden (ejercicio). También es sorprendentemente fácil de garantizar que los $2 \times 2$ matriz es de orden $n > 2$: usted sólo tiene que asegurarse de que su polinomio característico es de $x^2 - 2 \cos \frac{2\pi}{n} x + 1$, o, equivalentemente, que su determinante es 1 $$ y que su traza es de $2 \cos \frac{2\pi}{n}$.

Permítanme ilustrar con $n = m = 3$: sólo tenemos que encontrar dos matrices de determinante $1$ con trazas de $-1$, cuyo producto ha de seguimiento de más de $2 dólares en valor absoluto. De hecho, es fácil generar las familias de tales matrices: acaba de tomar

$$A = \left[ \begin{array}{cc} a-1 & - * (a^2-a+1) \\ 1 & - \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{cc} b-1 y b^2-b+1 \\ -1 & -b \end{array} \right].$$

Se calcula que la traza del producto es $a(a-1)(b-1) + (a^2 - a + 1) + (b^2 - b + 1) + ab$, que en particular es un número positivo grande tan pronto como $a, b$ sí mismos son grandes y positivos. De hecho todo lo que tenía que hacer era garantía de que esto no era un polinomio constante: cualquier polinomio no constante toma valores arbitrariamente grandes (ejercicio).

Este mismo truco nos permite construir $2 \times 2$ matrices $A, B$ de pedidos de más de $n, m$ tales que su producto tiene un pedido de $k$ para cualquier triple $(n, m, k)$. El universal correspondiente grupos se les denomina von Dyck grupos y están relacionados con algunos interesantes de la geometría.

Answer 4

Para el producto de dos elementos finitos el fin de tener una infinita fin, ejemplos simples pueden ser construidos de la siguiente manera.

Tomar dos líneas, decir que pasa por el origen, formando un ángulo $\theta$ el uno con el otro. Deje que $a$ ser la reflexión en una línea, $b$ reflejo en el otro. Tanto $a$ y $b$ fin $de$ 2. Su producto es la rotación alrededor del origen a través de $2\theta$. Si $\theta$ no conmensurables con $\pi$, entonces $ab$ tiene orden infinito.

Añade comentario: Que se ocupa de la sucesión infinita. Tomando $\theta$ $\pi/n$, podemos producir $a$ y $b$ de pedido de $2$ con el producto de cualquier orden finito.

Answer 5

Diedro grupos son generadas por dos elementos de orden dos. El fin de que su producto es arbitraria, y define que diedro grupo que recibe. Por ejemplo, las simetrías de un n-ágono, para n ≥ 3 un entero positivo, es un diedro grupo de orden 2*n* generado por dos reflexiones de un, b, cuyo producto es una rotación de orden n.

El infinito diedro grupo más directamente las respuestas a tu pregunta:

Dejar que un ser de la permutación de los enteros que se lleva a n a −n, y b la permutación que toma n 1−n. A continuación, una(b(n)) = −(1−n) = n-1, de manera que ab tiene una infinidad de orden. Por supuesto, un(una(n) = −(−(n)) = n, por lo que una es de orden 2; b(b(n)) = 1−(1−n) = n, entonces b es de orden 2.

Esto es similar a user6312 la respuesta, a excepción de que las líneas de reflexión son paralelas en mi ejemplo, el lugar de reunión en un irracional ángulo. Esto es similar a la de Arturo respuesta, excepto yo uso C₂ ∗ C₂ en lugar de C₂ ∗ C₃.