¿Por qué los dominios para $\ln x^2$ y $2\ln x$ ¿diferente?

Question

Si tengo una función como esta $f(x)=2 \ln(x)$ y quiero encontrar el dominio, pongo $x>0$ . Pero si utilizo las propiedades de las funciones logarítmicas, puedo escribir esa función como $f(x)=\ln(x^2)$ y así el dominio es todo $\mathbb{R}$ y el gráfico de la función es diferente. ¿Dónde está el error?

Answer 1

En primer lugar, podría utilizar $\ln x$ para definir funciones con diferentes dominios siempre que $\ln x$ se define en ese dominio.

En segundo lugar, la norma $\ln x^n=n\cdot \ln x$ es un poco descuidado. Siempre hay que señalar que $x>0$ . Igualmente, $\ln ab=\ln a+\ln b$ Sólo si $a,b>0$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que: $$ \ln (x^2)=2\ln |x| \ne 2 \ln x $$

por lo que las dos funciones son diferentes y tienen dominios distintos.

Answer 3

Las funciones $f(x) =2 \ln x$ y $g(x) = \ln x^2$ tienen dominios diferentes. El dominio de $f$ es $(0,\infty)$ y el dominio de $g$ es $\mathbb{R} - \{0\}$ . Pero como ha dicho, cuando $x$ está en el dominio de $f$ y el dominio de $g$ tenemos $f(x) = g(x)$ .

Answer 4

El dominio de una función forma parte de su definición. Restringiéndonos a funciones de subconjuntos de los números reales a los números reales, la función logaritmo $x \mapsto \ln x$ se define para tener el dominio $(0,\infty) \subset \mathbb R$ . (Menciono la restricción a $\mathbb R$ porque hay también una función llamada $\ln$ cuyo dominio son los números complejos no nulos).

Nada le impide definir una función con $f_1$ con dominio $[17,23]$ tal que $f_1(x) = \ln x$ siempre que $17\leq x \leq23$ . La nueva función $f_1$ no tiene todas las buenas propiedades de $\ln$ , por ejemplo, nunca es cierto que $f_1(x) + f_1(y) = f_1(xy)$ , porque $x$ , $y$ y $xy$ no pueden estar todos simultáneamente en el dominio de $f_1$ . No obstante, $f_1$ es una función perfectamente definida, aunque sea mucho menos útil que $\ln$ , al igual que la función $\ln$ con dominio $(0,\infty)$ es una función perfectamente a pesar de ser menos útil (para algunos propósitos) que la función logaritmo principal complejo.

Porque el dominio de $f_1$ es diferente del dominio de $\ln$ , $f_1$ no es la misma función que $\ln$ .

Ahora quieres definir una función con la fórmula $f(x) = 2 \ln x$ , pero la definición necesita un dominio. Yo diría que no existe "el" dominio para una función definida por esa fórmula, ya que es posible utilizar el mapeo $x \mapsto 2 \ln x$ para definir funciones sobre muchos dominios diferentes dominios como $(0,10]$ , $[17,71]$ o $(3,4]\cup[10,11)\cup\{37\}$ , pero hay un máximo dominio para las funciones de ese tipo, es decir, la unión de los dominios de todas las funciones posibles que pueden ser definidas por esa fórmula. Ese dominio es de nuevo $(0,\infty)$ . Así que si alguien me pide "el" dominio de $f(x) = 2 \ln x$ Supongo que que se referían al dominio $(0,\infty)$ es la "mejor" opción para la mayoría de los propósitos.

Una definición alternativa de la función $f(x) = 2 \ln x$ en el dominio $(0,\infty)$ es decir que $f(x) = \ln(x^2)$ cuando $x \in (0,\infty)$ . Esta es la misma función porque tiene el mismo dominio y toma el mismo valor en cada punto de ese dominio.

También es posible definir una función $g(x) = \ln(x^2)$ para todos $x \in \mathbb R - \{0\}$ . Esa es una función perfectamente definida, pero es una función diferente función que $f$ ya que tiene un dominio diferente.

Answer 5

El logaritmo natural de x^2 puede tomar valores negativos porque se elevan al cuadrado antes de pasar por la función logaritmo.