Evaluar $\int\frac1{1+x^n}dx$ $n\in\mathbb R$

Question

Me preguntaba sobre cómo evaluar la siguiente integral indefinida para todos los $n\in\mathbb R$.

$$\int\frac1{1+x^n}dx$$

Parece ser peculiar en la que hemos

$$\begin{align} \int\frac1{1+x^{-1}}dx&=x-\ln(x+1)+c\\ \int\frac1{1+x^0}dx&=\frac12x+c\\ \int\frac1{1+x^{1/2}}dx&=2\sqrt x-2\ln(1+\sqrt x)+c\\ \int\frac1{1+x^1}dx&=\ln(x+1)+c\\ \int\frac1{1+x^2}dx&=\arctan(x)+c\\ \int\frac1{1+x^3}dx&=\frac13\ln(1+x)-\frac2{3\sqrt3}\arctan\left(\sqrt{\frac43}\left(x-\frac12\right)\right)+c \end{align}$$

Naturalmente, no parece ser una combinación de $\ln$$\arctan$, aunque no existe ninguna fórmula simple que surge para resolver el caso general.

Sin embargo, es fácil ver que

$$\int\frac1{1+x^{-n}}dx=\int1-\frac1{1+x^n}dx$$

Así que hay una bastante fácil conexión entre positivo y negativo $n$.

También, es bastante fácil encontrar la expansión de la serie, tomando ventaja de la conexión anterior que acabamos de hacer para eludir los problemas relativos a la convergencia.

$$\frac1{1+x^n}=1-x^n+x^{2n}-x^{3n}+\dots\forall\ |x|<1$$

$$\int\frac1{1+x^n}dx=c+x-\frac1{n+1}x^{n+1}+\frac1{2n+1}x^{2n+1}-\dots$$

$$=c+\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{kn+1}x^{kn+1}\ \forall\ |x|<1$$

Aunque esto no es mucho a lo largo de las líneas de la forma cerrada.

Para $n=\frac ab$ donde $a$ $b$ son números enteros, podemos utilizar la sustitución de $x=u^b$ para obtener

$$\int\frac1{1+x^n}dx=\int\frac{bu^{b-1}}{1+u^a}du$$

$\require{enclose}\enclose{horizontalstrike}{\text{though I'm unsure where that could lead.}}$ Esto reduce la integral de abajo a

$$\int\frac1{1+x^n}dx=b\int P(u)+\frac{u^{b-1-ak}}{1+u^a}du,\quad k\in\mathbb N$$

para algunos polinomio $P(u)$. Aunque todavía estoy ni idea de cómo esto puede ser avanzado.

¿Cómo puedo evaluar $\int\frac1{1+x^n}dx\ \forall\ n\in\mathbb R$ en forma cerrada? Puede alguien demostrar que hay al menos existe alguna forma cerrada solución para todos los $n\in\mathbb Q$ si lo anterior no es posible? Si es posible, utilice los números reales.

Answer 1

En ESTA RESPUESTA, me mostró que la integral indefinida de interés está dada por

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int\frac{1}{x^n+1}dx=-\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac12 x_{kr}\log(x^2-2x_{kr}x+1)-x_{ki}\arctan\left(\frac{x-x_{kr}}{x_{ki}}\right)\right)+C}$$

para $n\ge 1$ donde $x_{kr}$ $x_{ki}$ pueden ser escritas, respectivamente, como

$$x_{kr}=\cos \left(\frac{(2k-1)\pi}{n}\right)$$

$$x_{ki}=\sin \left(\frac{(2k-1)\pi}{n}\right)$$

---

Para $n<0$, podemos simplemente escribir

$$\int \frac{1}{1+x^{-|n|}}\,dx=x-\int \frac{1}{1+x^{|n|}}\,dx$$

y el uso de la mencionada resultado con $n$ reemplazados con $|n|$.

Answer 2

Para enteros positivos $n$ puede escribir $$\dfrac{1}{1+x^n} = \sum_{\omega} \dfrac{r(\omega)}{x - \omega}$$ donde la suma es sobre el $n$'th raíces de $-1$ $r(\omega)$ es el residuo de $1/(1+x^n)$$x = \omega$, por lo que su integral es $$c + \sum_\omega r(\omega) \log(x - \omega)$$

También se puede expresar el poder de la serie de solución en términos de la Lerch Phi función: $$c + \dfrac{x}{n} {\rm LerchPhi}(-x^n,1,1/n)$$