Me preguntaba sobre cómo evaluar la siguiente integral indefinida para todos los $n\in\mathbb R$.
$$\int\frac1{1+x^n}dx$$
Parece ser peculiar en la que hemos
$$\begin{align} \int\frac1{1+x^{-1}}dx&=x-\ln(x+1)+c\\ \int\frac1{1+x^0}dx&=\frac12x+c\\ \int\frac1{1+x^{1/2}}dx&=2\sqrt x-2\ln(1+\sqrt x)+c\\ \int\frac1{1+x^1}dx&=\ln(x+1)+c\\ \int\frac1{1+x^2}dx&=\arctan(x)+c\\ \int\frac1{1+x^3}dx&=\frac13\ln(1+x)-\frac2{3\sqrt3}\arctan\left(\sqrt{\frac43}\left(x-\frac12\right)\right)+c \end{align}$$
Naturalmente, no parece ser una combinación de $\ln$$\arctan$, aunque no existe ninguna fórmula simple que surge para resolver el caso general.
Sin embargo, es fácil ver que
$$\int\frac1{1+x^{-n}}dx=\int1-\frac1{1+x^n}dx$$
Así que hay una bastante fácil conexión entre positivo y negativo $n$.
También, es bastante fácil encontrar la expansión de la serie, tomando ventaja de la conexión anterior que acabamos de hacer para eludir los problemas relativos a la convergencia.
$$\frac1{1+x^n}=1-x^n+x^{2n}-x^{3n}+\dots\forall\ |x|<1$$
$$\int\frac1{1+x^n}dx=c+x-\frac1{n+1}x^{n+1}+\frac1{2n+1}x^{2n+1}-\dots$$
$$=c+\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{kn+1}x^{kn+1}\ \forall\ |x|<1$$
Aunque esto no es mucho a lo largo de las líneas de la forma cerrada.
Para $n=\frac ab$ donde $a$ $b$ son números enteros, podemos utilizar la sustitución de $x=u^b$ para obtener
$$\int\frac1{1+x^n}dx=\int\frac{bu^{b-1}}{1+u^a}du$$
$\require{enclose}\enclose{horizontalstrike}{\text{though I'm unsure where that could lead.}}$ Esto reduce la integral de abajo a
$$\int\frac1{1+x^n}dx=b\int P(u)+\frac{u^{b-1-ak}}{1+u^a}du,\quad k\in\mathbb N$$
para algunos polinomio $P(u)$. Aunque todavía estoy ni idea de cómo esto puede ser avanzado.
¿Cómo puedo evaluar $\int\frac1{1+x^n}dx\ \forall\ n\in\mathbb R$ en forma cerrada? Puede alguien demostrar que hay al menos existe alguna forma cerrada solución para todos los $n\in\mathbb Q$ si lo anterior no es posible? Si es posible, utilice los números reales.
