Puede alguien explicar cómo las propiedades de los registros de hacer lo que puede hacer el registro de regresiones lineales donde los coeficientes se interpretan como cambios porcentuales?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Martin Robins
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1893
Una idea de cálculo es la que se puede aproximar a una función con una línea. La aproximación lineal es, simplemente, los dos primeros términos del desarrollo en Serie de Taylor. En el caso del logaritmo:
\begin{align*} y &= \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)\\ &= 0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right) \\ &= x - 1 \end{align*}
Así, por $x \approx 1$, podemos aproximar la $\log(x)$ con la línea de $y = x - 1$. Ejemplo: $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$.
Ahora, considere dos variables $x_2$ $x_1$ tal que $\frac{x_2}{x_1} \approx 1$. A continuación, el registro de la diferencia es de aproximadamente el por ciento de cambio en $\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$:
$$ \log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1 $$
Discusión:
Matemáticamente, el registro de diferencia es el limpiador de concepto. Los registros de hacer la multiplicación de una suma lineal. (La suma de registro de las diferencias es equivalente a multiplicar las tasas de crecimiento.)
Una manera de pensar acerca de esto es que el porcentaje de cambio es una aproximación al registro de diferencia.
Donde no funciona
Para los grandes cambios de porcentaje, el registro de diferencia no es la misma cosa como el porcentaje de cambio debido a la aproximación de $\log(x)$ con la línea de $y = x-1$ se pone peor y peor cuanto más obtiene a partir del 1 de.
$$ \log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$$
¿Qué es el registro de la diferencia en este caso? ¿Cuál es el $\log$ haciendo?
Una manera de pensar acerca de esto es que aunque la diferencia en los registros de .47 es equivalente a una acumulación de 47 diferentes .01 registro de diferencias, que es básicamente equivalente a 47 de 1% cambios (suman juntos).
\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}
Y exponentiate ambos lados: $$ 1.6 \approx 1.01 ^{47}$$
Un registro de la diferencia de .47 es aproximadamente equivalente a 47 de 1% aumenta agravado, o mejor aún, 470 diferentes .1% de aumento, aunado etc...
Antoni Parellada
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2762
He aquí una versión para dummies...
Tenemos el modelo de $Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$ - una simple línea recta a través de la nube de datos - y sabemos que una vez que la estimación de los coeficientes, $1\text{-unit}$ de aumento en el anterior valor de $X=x_1$ resultará en un aumento de $\hat \beta_1$ en el valor de $Y$,$Y=y_1$$\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$. Pero las unidades pueden ser en realidad de sentido en valores absolutos.
Así que podemos, en lugar de cambiar el modelo de a $\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$ (a estrenar coeficientes). Ahora, para la misma unidad de incremento en $\hat\delta_1$, tenemos un cambio
$$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$$
Para ver las implicaciones para el cambio en el porcentaje, podemos exponentiate $(*)$:
$$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$$
$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ es el cambio relativo, y de $(**)$, $\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$ el porcentaje de cambio.
La clave para responder a la pregunta, es para ver que $\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$ para valores pequeños de a $\hat\delta_1$, que equivale a lo mismo el uso de los dos primeros términos de la expansión de Taylor de que Mateo usa, pero esta vez de $e^x$ (la serie de Maclaurin) evaluada en cero debido a que estamos trabajando con exponentes, como contraposición a los logaritmos:
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$
o con $\delta_1$ $x$ variable:
$$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$$
por lo $\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$ cero (evaluamos el polinomio de expansión en cero cuando hicimos la serie de Taylor). Visualmente,
Aksakal
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Dicen que usted tiene un modelo de $$\ln y = A+B x$$ Tomar un derivado de un registro: $$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$$
Ahora usted puede ver que la pendiente $b$ es ahora una ladera de la relación de cambio de $y$: $$\frac{dy}{y}=B dx$$
Si usted no tiene el registro de transformar, a continuación, obtendrá una pendiente de absoluta cambio de $y$: $$dy=B dx$$
Yo no reemplace $dx,dy$ $\Delta x,\Delta y$ enfatizar que esto funciona para pequeños cambios.
