Sé que la respuesta es 180 por usar el arctangente (arctan(1)+arctan(2)+arctan(3)), pero eso es aburrido. ¿Hay alguna manera de resolver este problema sin la ayuda del trigonante en absoluto?
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- ¿Por qué $\tan^{-1}(1)+\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)=\pi$ ? (5 respuestas )
- Demostrar que los ángulos de satisfacer $x+y=z$ (5 respuestas )
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Creo que la imagen se explica por sí misma, pero déjeme justificar algunos detalles.
El segmento del medio, el que está a través de dos cuadrados verticales en la imagen superior, se refleja con respecto al eje vertical de simetría de los dos cuadrados verticales para obtener el segmento $AB$ en la foto de abajo.
Claramente $x = 45^{ \circ }$ porque es el ángulo entre un borde y una diagonal de un cuadrado (ver el primer segmento en la imagen superior).
Triángulo $ABC$ es isósceles con el ángulo derecho $ \angle\ , BAC = 90^{ \circ }$ como su ángulo base. Simplemente realice un $90^{ \circ }$ rotación en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del punto $A$ y ves que $AB$ está mapeado para $AC$ .
Alternativamente, mira esta imagen, donde claramente $BACD$ es un cuadrado:
De todas estas imágenes se deduce que $x + y + z = 45^{ \circ } + y + z = 180^{ \circ }$
Aretino
Puntos
5384
En el siguiente diagrama, los ángulos verde y rojo en triángulo $ABC$ son iguales por construcción a su $x$ y $z$ ángulos. Si podemos mostrar que el ángulo azul es igual al ángulo $y$ entonces hemos terminado, porque los ángulos en un triángulo suman 180°.
La línea de dibujo $AD$ perpendicular a $AB$ podemos ver que $AD=2AB$ porque $AD={1 \over2 }AE={1 \over2 }AF$ y $AB={1 \over4 }AF$ . Sigue ese triángulo $ABD$ es similar a su $y$ triángulo y $ \angle B=y$ .
Benjamin
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101
Defina los siguientes puntos:
$O=(0,0)$
$A=(1,0)$
$B=(1,1)$
$C=(0,2)$
$D=(-1,3)$
$E=(-1,0)$
Puntos $B,C,D$ son colineales, y esa línea es perpendicular a $OB$ (las pendientes son $+1, -1$ ). También $BD=BC+CD=2BC=2OB$ con el triángulo $OBC$ siendo isósceles. Luego los triángulos $OAB, OBD, ODE$ son similares a los dados y los ángulos en $O$ se suman a $180°$ .
