Se dice a menudo que, según la relatividad general, el espacio-tiempo está curvado por la presencia de materia/energía.
Pero no es simplemente la de coordinar las líneas del sistema de coordenadas que se curva?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Felicitaciones! Se tropezó con una importante cuestión de geometría diferencial:
¿Cómo puedo saber si la curvatura es causada por mi elección de coordenadas o el espacio en el que vivo?
Como se ha mencionado en otras respuestas, la palabra "curvatura" se conoce como una propiedad del espacio, pero también una propiedad de las coordenadas. Permítanme llamar a la última "variación" en su lugar.
Para ilustrar ambos casos, imaginar:
- Estar en "plano" espacio Euclidiano, pero usando coordenadas esféricas
- Vivir en la esfera, el uso de cualquier tipo de coordenadas.
En el primer caso, obviamente, un cambio a coordenadas cartesianas elimina todos variación en sus coordenadas. En el último, usted puede elegir cualquier representación que usted desee – usted no va a obtener la variación libre de coordenadas! Por ejemplo, cuanto más nos acercamos a los polos, sus coordenadas son obligados a obtener "más denso", si ellos deberán permanecer continua.
Esto significa que se debe ser causada por el espacio en sí mismo - Si las coordenadas no llegar directamente, nos dicen que el "Espacio de curvatura". La curvatura también se dice que es una "propiedad intrínseca del espacio", lo que significa exactamente esta propiedad no depende de su representación por medio de coordenadas.
Para responder a su pregunta brevemente: No. Cuando digo: "el espacio-tiempo es curvo", nos referimos a "el espacio-Tiempo tiene curvatura", y no sólo "Las coordenadas varían".
Algunas definiciones
Tenga en cuenta sin embargo que el vocabulario es muy imprecisa. Para ser más precisos, debemos utilizar los términos matemáticos: Nuestro "espacio" o "espacio-tiempo" se convierte en un "Colector de Riemann", es decir, una matemática abstracta conjunto con algunas buenas propiedades y la capacidad de medir distancias de forma local. El último se llama la "Métrica de tensor de campo".
"Coordenadas" Son en realidad los mapas de nuestro Colector de a $\mathbb R^n$, en el caso del espacio-tiempo $n=4$. Dondequiera que usted sea, usted encontrará un mapa que le da un conjunto de números reales.
Una vez que introducir las coordenadas del mapa, usted tiene una base para el tensor métrico y puede representar por varios componentes que son números reales. Que es muy útil, ya que ahora puede tomar fácilmente derivados de la misma (en las direcciones de nuestra coordinar base). Si estos derivados son cero en todas partes, ya sabes que estás en un espacio plano.
"Curvatura" no es tan fácil de definir, sin embargo. Tenemos que encontrar las herramientas para medir el fracaso de nuestro coordinar los mapas para llegar a ser constante. Por suerte, ha habido personas como Gauss y Riemann hacer el trabajo duro por usted.
Gauss' Enfoque
Gauss' enfoque es comparar cómo los "círculos de crecer". Si usted está en una esfera, en la que "se percibe radio" de un círculo es ligeramente más grande que el radio correspondiente a su circunferencia / área, para que sepa que está en un espacio curvo. Más precisamente, en un Espacio positivo de curvatura el radio puede ser más corta de lo esperado, así! Considere la posibilidad de una silla de montar. Desde el círculo se "estira", la circunferencia y el área son más grandes de lo esperado – este sería un ejemplo de la negativa de la curvatura. Una buena imagen mental de $n=2$ es que si se trató de montaje de una hoja de papel, y observar que:
- Rasgar: curvatura Negativa
- Se adapta muy bien: curvatura Cero
- Aprieta: Curvatura Positiva
El Problema con Gauss' Enfoque es aunque es intuitivo a la hora de mirar desde "fuera" en el colector, la determinación de en el interior del colector consiste en tomar un límite, y no es tan fácil de calcular y generalizar.
Bueno, no es tan fácil como la forma de Riemann hizo al menos:
El Enfoque de Riemann
Tome la esfera: Un efecto más conocido del mundo, la curvatura es el hecho de que usted puede abarcar un triángulo con ángulos $\frac \pi 2$ solamente.
Otra posibilidad es el transporte paralelo - si usted toma un vector y seguir recto hasta el polo norte, y luego todo recto a la derecha de la línea ecuatorial, y hacia abajo, su vector desplazado por $\frac\pi 2$.
Esto se puede generalizar: Tomar un vector, transporte paralelo es cierta distancia, a cierta distancia, a la derecha, ve hacia abajo y a la izquierda. En un espacio plano, el vector no han cambiado. En un espacio curvo sin embargo, se observa un cambio.
Ahora tenga en cuenta que la noción de "arriba" y "derecho" puede ser fácilmente generalizado en la idea de los dos siguientes coordenadas de los vectores! Esta es la Idea de que el Tensor de Riemann: $$R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w$$ Esta es esencialmente la aplicación de la siguiente protocolo:
- Tomar un vector $w$
- De transporte en la dirección del vector (en nuestro caso: un vector coordenado) $u$, $v$
- Transporte el mismo vector en la dirección de, a continuación,$v$,$u$, más un término de corrección que existe por razones técnicas
- Observar cómo la diferencia en las rutas de hecho nuestro vector diferentes.
Sin embargo, no del todo. Dado que el vector de desplazamiento depende de la distancia, y queremos definir un valor de la curvatura a nivel local, en este caso como una propiedad del punto, la reducción de la distancia hace que el vector de desplazamiento va a cero. Así que nuestro argumento no es del todo correcto – estamos interesados en el cambio lineal de dicho vector de desplazamiento cuando se cambia la distancia.
Podemos calcular la cantidad de cada uno de los pares de la $n$ coordenadas (índices: $\mu, \nu$), y a continuación pueden observar el $\rho$-componente de un vector unitario en la dirección $\sigma$ – vamos a indicar esta cantidad por $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}$. Tiene algunas simetrías, así que en realidad tenemos $\frac{n^2(n^2-1)}{12}$ componentes independientes (yo confío en wikipedia en la que uno). Este tensor se puede contratar a uno más pequeño haciendo un resumen sobre el mismo $\rho$$\mu$, dejando dos índices, que pueden ser contraced una vez más, dejando a un escalar $R$, también conocido como el Escalar de Ricci, que es, sorpresa, en dos dimensiones, el doble de la curvatura de gauss. De modo que la curvatura de Riemann parece capturar el derecho a la intuición, sin embargo!
La ecuación se vio anteriormente puede ser reducida a la primera y segunda derivadas parciales de la métrica – tensor de que es realmente fácil de evaluar (al menos si sabe que la forma cerrada). Recuerde que el tensor (y, obviamente, derivados de las contracciones como el escalar de Ricci) contienen una gran cantidad de términos; el cálculo del tensor de riemann es un bien amado ejercicio para el estudiante con ganas (o la pobre alma dispuesta a pasar una clase de geometría diferencial.
Resumen
Lo que significa es la curvatura intrínseca del espacio, es decir, son independientes de la elección de coordenadas. Hay ingeniosos métodos para determinar si, y hasta qué punto su espacio se desvía de plano el espacio euclidiano, es decir, la curvatura Gaussiana, y, lo que es más importante, el tensor de Riemann.
Todd White
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Ambos, en realidad. (por supuesto, estos son completamente diferentes, pero ambos son llamados "curvatura")
Las coordenadas son definitivamente una curva (que es la razón por la que son llamados curvilíneo, después de todo).
Pero hay una coordenada independiente de la noción de curvatura del espacio-tiempo de la geometría. Este está dado por la curvatura de Riemann tensor.
Usted probablemente sabe que es igual a cero en el plano espacio-tiempo. Nota cómo esto se aplica en todos los sistemas de coordenadas - tanto curvilíneo y Galileo. Esto es debido a que el tensor de ecuaciones son covariantes bajo transformaciones de coordenadas.
Debido a esto, se considera que es una propiedad del espacio-tiempo (ya que no dependen de las coordenadas). Hay un bonito, coordinar independiente de la manera de obtener una idea de lo que la curvatura es: cuando usted paralelo de transporte de un vector a lo largo de una curva cerrada, la diferencia entre el vector original y el resultado de la transformación es distinto de cero en la presencia de curvatura.
Sarath
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El espacio-tiempo de la curvatura no es una ley de la física, es simplemente un muy potente y práctico modelo de Einstein introdujo para el trabajo con las ecuaciones de campo de Einstein.
Uno de los principales de aplicación de la curva el espacio-tiempo es la métrica de Schwarzschild $$ \mathrm ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) c^2~\mathrm dt^2 + \frac{1}{1 - \frac{2GM}{c^2 r} }~\mathrm dr^2 + r^2 \left(\mathrm d\Theta^2 + \sin^2 \Theta ~\mathrm d\Phi^2\right)$$ Métrica de Schwarzschild es la descripción de un campo de gravedad que puede ser representado en la forma de la curva el espacio-tiempo.
En contraste, la correspondiente métrica de Minkowski (con planos espacio-tiempo) es $$ \mathrm ds^2 = -~ c^2~\mathrm dt^2 + \mathrm dr^2 + r^2 \left(\mathrm d\Theta^2 + \sin^2 \Theta~\mathrm d\Phi^2\right)$$
donde $\mathrm dt$ es uncurved tiempo y $\mathrm dr$ es uncurved desplazamiento radial.
La comparación de ambas, se encuentra que en la métrica de Schwarzschild, el tiempo de $\mathrm dt$ se multiplica por la constante
$$ \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^2 r}}$$ y el espacio $\mathrm dr$ se divide por la misma constante. Es precisamente este factor el que representa la curvatura del espacio-tiempo. La constante gravitacional de la dilatación del tiempo. Si se establece el constante = $C$, podemos escribir la métrica de Schwarzschild más corta de la siguiente manera: $$ \mathrm ds^2 = -~c^2 (C~\mathrm dt)^2 + {\left(\frac {\mathrm dr}{C}\right)}^2 + r^2 \left(\mathrm d\Theta^2 + \sin^2 \Theta~\mathrm d\Phi^2\right)$$ Comparando este breve formulario con la ecuación anterior de la métrica de Minkowski, la métrica de Schwarzschild difiere de uncurved métrica de Minkowski sólo por un coeficiente de $C$ que es identic con gravitacional de la dilatación del tiempo. Eso significa que la curva el espacio-tiempo de Schwarzschild métrica puede ser descrito en términos de la gravedad de la dilatación del tiempo - en absoluto, tv de espacio!
Así podemos describir la gravedad con tv de coordenadas del espacio donde sólo gravitacional de la dilatación del tiempo iba a actuar en el plano métrico. Pero como se mencionó anteriormente, la representación en la forma de la curva el espacio-tiempo revela como mucho más práctico, y es ampliamente preferido para la descripción en términos de espacio plano. Pero la curva el espacio-tiempo no es nada más que una elección de coordenadas.
