¿Por qué Friedberg decir que el papel de la determinante es menos central que en tiempos pasados?

Question

Estoy tomando una prueba basada en curso de introducción al Álgebra Lineal como estudiante de pregrado de Matemáticas y Ciencias de la computación. El autor de mi libro de texto (Friedberg del Álgebra Lineal, 4ª Edición) dice en la introducción al Capítulo 4:

El factor determinante que ha desempeñado un papel prominente en la teoría del álgebra lineal, es un especial escalares función definida en el conjunto de las matrices cuadradas. A pesar de que todavía tiene un lugar en el estudio del álgebra lineal y sus aplicaciones, su papel es menos central que en tiempos pasados.

Incluso se establece en el capítulo de tal manera que puede pasar de entrar en detalle y movimiento:

Para el lector que prefiere para el tratamiento de los factores determinantes a la ligera, Sección 4.4 contiene las propiedades esenciales que son necesarios en los capítulos posteriores.

Alguien podría ofrecer una manera didáctica y sencilla explicación de que refuta o afirma el autor de la declaración?

Answer 1

Friedberg es correcto, al menos en un punto de vista histórico.

Determinantes fueron descubiertos a mediados del siglo 18, y tuvo una rápida difusión. Su descubridor, Cramer, utilizado en su célebre regla para la solución de un sistema lineal (en términos de cocientes de los determinantes). Esta generación de matemáticos habían descubierto las propiedades de los determinantes que ahora, con nuestra visión, queremos expresar en términos de las matrices. Por ejemplo, se fueron multiplicando los factores determinantes "filas veces las columnas" al igual que multiplicar matrices.

En el siglo de mid-19th (en Inglaterra) de matrices de hecho una tímida aparición ; "matriz" es un término acuñado por Sylvester ver aquí. Tenía un maravilloso estilo ; me recomienda leer algunos de sus textos en sus collected Papers. Con su amigo de Cayley, que con toda razón puede ser llamado a los padres fundadores de álgebra lineal, con determinantes como referencia permanente; el polinomio característico se expresa como un factor determinante, la "resultante", inventado por Sylvester (dando una característica de la condición para que dos polinomios a una raíz común), es un factor determinante, etc.

Francés matemáticos no han sido muy activas en este campo en ese momento. Pero hay excepciones: por ejemplo, Cauchy, alrededor de 1830, descubrió valores propios ", asociada a un simétrica determinante" (por razones astronómicas: véase, por ejemplo, este) sólo porque todo el mundo tenía en ese momento la "determinantal cultura": para un siglo 19 un matemático, un (plaza) de la matriz de números tiene necesariamente un valor (su determinante): no podría tener otro significado.

La identificación de "Álgebra Lineal" como una amplia (y nueva) la parte de las Matemáticas se debe principalmente a la Escuela de alemán (a partir de 1870 hasta la década de 1930 con Van der Waerden del libro : "Moderne Algebra" que todavía es muy legible). No citaré los nombres, hay demasiados de ellos. Un ejemplo entre muchos otros de los alemanes de la dominación: el germenglish palabra "valor propio". La palabra "núcleo" podría haber mantenido la palabra alemana "kern" que aparece alrededor de 1900 (vea este sitio).

El triunfo de Álgebra Lineal es bastante reciente (mediados del siglo 20). El "triunfo", lo que significa que ahora Álgebra Lineal ha encontrado un lugar muy céntrico. Los factores determinantes en todo eso ? Uno de los "más grandes aspas" en este swissknife, pero no más.

Un especial tratamiento debe ser hecho a la conexión entre la geometría y los factores determinantes, que ha allanado el camino, aquí, en particular, al álgebra lineal. Algunos principios básicos:

• el desarrollo de la geometría proyectiva (en su forma analítica). Este desarrollo ha llevado, en particular, para el estudio moderno de las secciones cónicas descrito por una ecuación de $X^TAX=0$ donde $A$ es simétrica $3 \times 3$ matriz. Diferentes ideas fundamentales fueron nacidos a partir de esta representación. Tres ejemplos:

  a) el concepto de clasificación: por ejemplo, un par de líneas rectas es una sección cónica cuya matriz tiene rango 1 (como sabemos, este concepto de "rango" puede explicarse por factores determinantes, o por la dimensión de la gama del espacio, o...) ;

  b) el concepto de la dualidad $X=(x,y,t)^T\rightarrow U=AX=(u,v,w)$ entre los puntos de $(x,y)$ y las líneas con las ecuaciones de $ux+vy+w=0$. Más precisamente, la tangencial de la descripción, es decir, la restricción de los coeficientes $U^T=(u,v,w)$ de la tangente a las líneas de la forma cónica de la curva ha sido reconocido como asociados con $A^{-1}$ (bajo la condición de $det(A) \neq 0$!), debido a la relación de $X^TAX=X^TAA^{-1}AX=(AX)^T(A^{-1})(AX)=U^TA^{-1}U=0$. Comentario: la forma en que el último igualdades se han escrito utilizando reglas y notas de álgebra matricial era desconocida en el siglo 19.

  c) el concepto de vector propio/autovalor, motivada por la determinación de "eje" para elipses o hipérbolas.

• la idea de "transformación geométrica" (nacido más o menos con Klein circa 1870), que, cuando es lineal está asociado con una matriz de números (por ejemplo cambio de bases fueron descritos por una "tabla de cosenos de dirección", mucho antes de ser nombrado "ortogonal de la matriz"),

• y cuaterniones, etc...

Usted encontrará interesantes precisiones sobre los determinantes de las respuestas aquí.

Answer 2

Depende de quién habla.

• En numérico matemáticas, donde la gente tiene que calcular las cosas en un equipo, es ampliamente reconocido que los factores determinantes son inútiles. De hecho, con el fin de calcular determinantes, o usas el de Laplace regla recursiva ("la violencia sobre los menores"), que los costos de $O(n!)$ y no es factible ya que para valores muy pequeños de $n$, o usted puede ir a través de un triangular de descomposición (eliminación Gaussiana), que de por sí ya dice todo lo que usted necesita saber en primer lugar. Por otra parte, para la mayoría de tamaño razonable matrices que contienen los números de punto flotante, los factores determinantes de desbordamiento o subdesbordamiento. Para poner otro clavo en el ataúd, la informática, la autovalores por la búsqueda de las raíces de $\det(A-xI)$ es irremediablemente inestable. En resumen: en computación numérica, lo que usted desea hacer con los determinantes, hay una mejor manera de hacerlo sin el uso de ellos.
• En la matemática pura, donde las personas están perfectamente bien sabiendo que una fórmula explícita que existe, y todos los ejemplos se $3\times 3$ de todos modos y las personas a hacer los cálculos a mano, son los factores determinantes de valor incalculable. Si uno utiliza la eliminación Gaussiana en su lugar, todas esas divisiones complicar los cálculos horriblemente: uno necesita tomar caminos distintos si las cosas son cero o no, así que cuando computación simbólica que uno se pierde en una infinidad de casos. La gran cosa acerca de los factores determinantes es que te dan una explícita fórmula polinómica para saber cuando una matriz es invertible o no: esto es muy útil en las pruebas, y permite un montón de elegante argumentos. Por ejemplo, trate de probar este hecho sin determinantes: si $n\times n$ matriz cuyas entradas son lineales, polinomios en $x$ es singular por $n+1$ distintos valores de $x$, entonces es singular para todos los valores de $x$. Este es el tipo de cosas que usted necesita en las pruebas, y los factores determinantes son una herramienta inestimable. A quién le importa si el explícito fórmula tiene un número exponencial de términos: se tiene una muy buena estructura, con un montón de casitas de combinatoria interpretaciones.

Answer 3

Los factores determinantes son todavía muy relevante para álgebra abstracta. En matemáticas aplicadas, que son menos, a pesar de la afirmación de que "los factores determinantes son prácticos porque toman demasiado tiempo para calcular" es equivocada (nadie te obliga a calcularlos por la fórmula de Leibniz; eliminación Gaussiana obras en $O\left(n^3\right)$ del tiempo, y hay un $O\left(n^4\right)$ división de libre algoritmo ). (Otro tan repetida afirmación de que la regla de Cramer no es muy útil para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales; creo que esto es correcto, pero lo que más me viendo la regla de Cramer se utiliza como un teórico de la herramienta en las pruebas frente a aplicaciones computacionales.)

Lo que está ocurriendo es la siguiente: copia de seguridad a principios del siglo 20, los factores determinantes que solía ser una de las pocas herramientas disponibles para lineales algebraicas problemas. (Incluso podría ser una de las más antiguas herramientas, descubierto por Takakazu Seki atrás en 1683.) Otras lineales algebraicas herramientas comenzó a aparecer en los siglos 18 y 19, pero su desarrollo ha sido siempre la zaga de los factores determinantes hasta la talla de Noether y Bourbaki llegó en el siglo 20. (Muir 5-el volumen de los anales de la determinante de la teoría, que puede ser descargado de Alain Lascoux del sitio web, contiene una impresionante colección de resultados, muchos de ellos de profundidad, acerca de los determinantes.) Así, por un largo tiempo, el único camino para una profunda resultado pasaría a través de la tierra de los factores determinantes, simplemente porque otras tierras eran apenas explorado. Sólo después de que los conceptos de espacios vectoriales, módulos, tensores, exterior, poderes, etc. se fue la corriente principal (década de 1950?), los matemáticos podían permitirse el lujo de evitar los factores determinantes, y empezaron a darse cuenta de que sería más fácil para ello, y con el beneficio de la retrospectiva, algunos de los mayores usos de los determinantes se acaba de desvíos. En algún momento, evitando determinantes convirtió en algo así como una cultural de la moda, y Axler llevó a un extremo en su LADR libro de texto, haciendo hincapié en la no-métodos constructivos y dejando a los estudiantes más preparados para la investigación en álgebra abstracta. Sin embargo, Axler enfoque tiene algunos puntos fuertes (por ejemplo, su agradable y la más determinante libre de la prueba de la existencia de los vectores propios se ha convertido en estándar, y está incluido aún en Treil del LADW libro, cuyo título es una broma en Axler s), lo que demuestra una vez más lo que yo creo que es la correcta para llevar de toda la historia: Determinantes de ser tratada como una panacea, por falta de otras herramientas de la fuerza comparable; pero ahora que el resto de álgebra lineal que se ha encontrado, se han retirado a los terrenos donde pertenecen, lo que es todavía una amplia franja de la matemática paisaje (muchas partes del álgebra abstracta y combinatoria algebraica han determinantes escrito en su ADN, en lugar de utilizarlos como una herramienta, que no es muy probable que arrojar fuera de ellas).

Answer 4

Los factores determinantes son muy útiles en la teoría del álgebra lineal, pero por lo menos en la práctica (especialmente para los cálculos numéricos que implican grandes sistemas). Por ejemplo,

1. La regla de Cramer da una fórmula explícita para la solución de una $n \times n$ sistema lineal $Ax = b$ donde $A$ es invertible.
2. Los autovalores de una matriz cuadrada $A$ son las raíces del polinomio característico $\det(A - \lambda I)$.

Pero nadie usa estos para sus cálculos, con la excepción de pequeñas $n$. Hay métodos numéricos que son mucho más eficientes y numéricamente estable.

Answer 5

Además de los puntos ya planteados que son los factores determinantes en el hecho de cara a calcular numéricamente y sensible a los errores de redondeo, que son también difíciles "simbólicamente"... y, de hecho, la captura sólo de una manera muy peculiar de bits del álgebra lineal, incluso en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

El problema que parece molestar a las personas, a favor y en con -, si están pensando en términos de "correcto desarrollo lógico" de álgebra lineal (que yo creo que ya es un punto de vista que se pregunta por los problemas), una auténtica y legítima objeción es sobre el uso de la Cayley-Hamilton teorema de... E. g., no es necesario el uso de este en la mayoría de las situaciones donde tradicionalmente se invoca.