Evaluación de $ \int_ {0}^{10 \pi } ([ \sec ^{-1}x]+[ \cot ^{-1} x])~ \mathrm dx$

Question

Encuentra el valor de la integral

$$ \int_ {0}^{10 \pi } ( \lfloor\sec ^{-1}x \rfloor + \lfloor\cot ^{-1} x \rfloor )~ \mathrm dx$$

donde $ \lfloor . \rfloor $ denota la mayor función entera.

¿Podría alguien ayudarme con esto? No puedo dividir la mayor función entera aquí en un intervalo diferente. Por favor, dame una idea.

Answer 1

$ \left\lfloor \sec ^{-1}x \right\rfloor = \begin {cases} 0 & \text { for } x< \sec (1) \approx1.851\\ 1 & \text { for } x \ge\sec (1) \end {cases}$

$ \left\lfloor\cot ^{-1}x \right\rfloor = \begin {cases} 1 & \text { for } 0 \le x< \cot (1) \approx0.642\\ 0 & \text { for } x \ge\cot (1) \end {cases}$

Así que \begin {eqnarray} \int_0 ^{10 \pi } \left\lfloor \sec ^{-1}x \right\rfloor + \left\lfloor\cot ^{-1}x \right\rfloor\ DX &= \int_0 ^{ \cot (1)}1+0\,dx+ \int_ { \sec (1)}^{10 \pi 0+1, dx \\ &= \cot (1)+10 \pi - \sec (1) \end {eqnarray}

Gráfico

Answer 2

Esa integral es un poco problemática. Si $ \sec ^{-1}x$ significa "secante inverso de $x$ ", entonces $[0,1)$ está fuera del dominio. Si $ \cot ^{-1}x$ significa "recíproco de cotangente de $x$ entonces la integral divergirá cerca de $ \frac { \pi }2$ por ejemplo.