"En un anillo conmutativo finito, demostrar que cada elemento es una unidad o un divisor cero". ¿Qué pasa si eliminamos "finito"?

Question

Esta fue la pregunta de mi examen de teoría de anillos que dice:

Dejemos que $R$ ser un anillo conmutativo finito Demostrar que cada elemento no nulo de $R$ es un divisor de cero o una unidad. ¿Qué pasa si dejamos caer "finito" condición en $R$ ?

Sé que estoy equivocado, pero pensé que $R$ para ser un dominio integral. ¿Cuál debería ser la forma correcta de resolverlo?

Answer 1

¿Cuál debería ser la forma correcta de resolverlo?

Demostrar la afirmación dada (con la condición de finitud) sería una cuestión duplicada de Todo elemento no nulo de un anillo finito es una unidad o un divisor cero Así que te dirigiré a las muy buenas soluciones que ya existen allí.

¿Qué ocurre si eliminamos la condición de "finito" en R?

$\Bbb Z$ es un anillo conmutativo con unidad que tiene exactamente dos unidades y (según mi convención) sólo un divisor cero, y todo lo demás no es ni unidad ni divisor cero. Por lo tanto, al eliminar la palabra finito se echa por tierra la declaración.

Sé que estoy equivocado, pero pensé que $R$ para ser un dominio integral.

Bueno mi ejemplo de ahora era un dominio integral, pero no, ser un dominio no tiene nada que ver. El anillo $F[x]/(x^2)$ para un campo infinito $F$ es un anillo conmutativo infinito con identidad que no es un dominio y, sin embargo, está dividido entre unidades y divisores cero.

Así que no puedes eliminar el finito, pero puedes sustituirlo fácilmente por adjetivos mucho más generales. $^\ast$ Ser finito no es en absoluto necesario para que los elementos se dividan entre unidades y divisores cero. Hay enormes clases de anillos infinitos que tienen esa propiedad.

Probablemente la siguiente generalización más sencilla de esta cuestión es demostrar que para cualquier derecho Artiniano anillo $R$ cada elemento es una unidad o un divisor cero (cuento $0$ entre los divisores de cero). Los anillos finitos son, por supuesto, artinianos de izquierda y derecha. Pero ahora se tiene, por ejemplo, cada $n\times n$ anillo matricial sobre un campo, y todo cociente de un anillo polinómico sobre un campo como ejemplos más allá de los anillos finitos.

En realidad se puede ir a algo aún más general llamado fuertemente $\pi$ anillo regular $^{\ast\ast}$ . Hay una prueba sencilla para ambas afirmaciones en esta pregunta: Anillos cuyos elementos están repartidos entre unidades y divisores de cero. y aquí . $^{\ast\ast\ast}$

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$^\ast$ Usted puede simplemente borre la palabra conmutativa, sin embargo.

$^{\ast\ast}$ Una fuerte $\pi$ -El anillo regular es aquel que tiene la condición de cadena descendente en las cadenas de la forma $xR\supseteq x^2R\supseteq x^3R\supseteq\ldots$

$^{\ast\ast\ast}$ También hay una propuesta relacionada (pero con una redacción más extraña) Correo electrónico: sobre esto.

Answer 2

Supongamos que $0\neq a\in R$ es un divisor distinto de cero y consideramos el mapa $R\to R, ~ r\mapsto ar$ . Demostrar que es inyectiva y por tanto biyectiva ( $R$ es finito). Concluya que $a$ es una unidad.

Answer 3

en un anillo conmutativo infinito existe la tercera posibilidad de elementos $x$ que no son divisores de cero o unidades - porque el conjunto $\{x^k\}$ es isomorfo al monoide libre sobre $\{x\}$ . todo $n \in \mathbb{Z}$ excepto $0,\pm1$ son de este tipo, y lo mismo para $\mathbb{Z[x]}$