¿Cómo funciona el pegar?

Question

Si uno "colas" juntos un cilindro $C$ con un cilindro $C'$ el espacio resultante debe ser un toro como un subespacio de $\mathbb R^3$. Tanto en$C$$C'$$S^1 \times [0,1]$. Si he entendido correctamente la identificación requiere de dos mapas de $f: C \to \mathbb R^3$ $g: C' \to \mathbb R^3$ con la propiedad de que $f(x)=g(x) \in S^1 \subseteq \mathbb R^3$ $S^1 \times \{0\}$ $f(x)=g(x) \in S^1 \subseteq \mathbb R^3$ $S^1 \times \{1\}$ tal que $f,g$ son continuos y uno-a-uno.

Lo que estoy luchando es cómo definir el $f$$g$. He intentado de la siguiente manera: Mi idea es definir $f$$g$, que son la inclusión de los mapas en el toro en el origen de $\mathbb R^3$. El toro puede ser parametrizado como $x = \cos(s)(R+r\cos(t))$, $y=\sin(s)(R+r\cos(t))$, $z=r\sin(t)$ para $s,t \in [0,2\pi)$.

Para un punto de $(x,y)$ $C$ cómo definir $f:C \to \mathbb R^3$? No puedo hacerlo. Gracias por la ayuda!!

Answer 1

En lugar de $(x,y)$, vamos a escribir $(\cos(\theta), \sin(\theta), \phi)$. A continuación, $f$ debe enviar esto a $(\cos(\theta)(R + r\cos(\pi\phi)),\sin(\theta)(R + r\cos(\pi\phi)),r\sin(\pi\phi))$. Por lo tanto, el $\theta$ coordinar es enviado a la $s$ coordinar, y el $\phi$ coordenadas se envía a la primera $[0,\pi]$ de la $t$ coordinar. $g$ debería hacer lo mismo, pero cubriendo el $[\pi,2\pi]$ de la $t$ coordinar.

Se advierte que, especialmente en topología algebraica, estos tipos de explícito construcciones tienden a no ser muy útil. Nosotros normalmente sólo se preocupan por cosas como el toro como espacios topológicos; las específicas de la incrustación del toro en el espacio Euclidiano es generalmente irrelevante.

Si continúa el estudio de la topología, es probable que vea gluings como esta tratada de manera más abstracta, en argumentos como los siguientes. Ambos cilindros son producto de espacios de $S^1 \times [0,1]$, y el encolado ignora la $S^1$ coordinar. Por lo tanto, el pegado espacio debe ser $S^1$ veces el espacio de obtener por el encolado de dos intervalos a lo largo de sus extremos, es decir, es $S^1 \times S^1$, un toro.

Tenga en cuenta que puede hacer este tipo de encolado de la construcción como un cociente de la inconexión de la unión de los espacios involucrados. Esto podría ser más fácil de lo que viene con el objetivo primero y, a continuación, tratando de definir los mapas en ella.