Si $\sum a_n b_n <\infty$ para todo $(b_n)\in \ell^2$, entonces $(a_n) \in \ell^2$

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Si $(a_n)$ es una secuencia de números positivos tal que $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n<\infty$ para todas las secuencias de números positivos $(b_n)$ tal que $\sum_{n=1}^\infty b_n^2<\infty$, entonces $\sum_{n=1}^\infty a_n^2 <\infty$.

El contexto aquí es el análisis funcional de tareas, en el tema de espacios de Hilbert.

He aquí lo que he pensado:

Deje que $f=(a_n)>0$. Entonces el problema se lee: si $\int f\overline{g}<\infty$ para todo $g>0,g\en \ell^2$, entonces $f\in \ell^2$. Esto trae el problema en el ámbito de $\ell^p$ espacios.

Sé el producto interior sólo se define en $\ell^2$, pero es algo así como decir: si $\langle f,g\rangle <\infty$ para todo $g>0,g\en \ell^2$, entonces $f\in \ell^2$.

He leído esto como: "para comprobar una secuencia positiva es en $\ell^2$, sólo de verificación de su producto interior con cualquier secuencia positiva en $\ell^2$ es finito, entonces usted está listo", que me parece bonito, pero yo no puedo probarlo :P

A partir de ahí, no sé qué otra cosa hacer. Pensé de Hölder de la desigualdad, que en este contexto los estados: $$\sum_{n=1}^\infty a_nb_n \leq \left( \sum_{n=1}^\infty a_n^2 \right)^{1/2} \left( \sum_{n=1}^\infty b_n^2 \right)^{1/2}$$

pero no es útil aquí.

Answer 1

Poner $l_n(b) =\sum_{k=1}^n a_kb_k$. $l_n$ es lineal, continua y $\lVert l_n\rVert = \left(\sum_{k=1}^na_k^2\right)^{\frac 12}$. Para todos $b\in \ell^2$ la secuencia de $\{l_n(b)\}$ es acotada. Por el principio de uniforme acotamiento tenemos que la secuencia de $\left\{\lVert l_n\rVert\right\}$ es acotada.

Answer 2

Siguiendo con la idea de la izquierda por david como respuesta, voy a publicar una solución detallada.

Deje de $T_n:\ell^2 \to \mathbb{C}, T_n(c)=\sum_{j=1}^n a_j c_j$. Entonces es claro que $T_n \(\ell^2)^*$ para todo $n$.

Yo reclamo que por cada $c\in \ell^2$, el límite de $\lim_n T_n(c)=\sum_{j=1}^\infty a_jc_j$ existe.

De hecho, sabemos que lo hace para $c\in \ell^2$ que $c(n)\geq 0$ para todo $n$. Pero entonces, por una arbitraria $c\in \ell^2$, podemos descomponer $c$ como:

$c=(\mbox{Re } c)^+ - (\mbox{Re } c)^- + i\left( (\mbox{Im }c)^+ - (\mbox{Im } c)^-\right)$

lo que demuestra la demanda.

Como consecuencia tenemos que $\sup_n \lVert T_n(c) \rVert <\infty$ para todo $c\in \ell^2$, pero luego por el acotamiento uniforme principio, $\sup_n \lVert T_n \rVert <\infty$.

Ahora, $T_n(c) = \langle c,^{(n)}\rangle_{\ell^2}$ donde $a^{(n)}(j)=\begin{casos} a_j & \mbox{si }j\leq n \\ 0 & \mbox{si } j>n \end{casos}$.

Por Riesz' teorema de representación en espacios de Hilbert, sabemos que $\lVert T_n \rVert = \lVert a^{(n)}\rVert_2= \left( \sum_{j=1}^n a_j^2 \right)^{\frac{1}{2}}$.

Para concluir, desde $a_n\geq 0$ para todo $n$, tenemos que $\left( \sum_{n=1}^\infty a_n^2 \right)^{\frac{1}{2}} = \sup_n \lVert a^{(n)} \rVert_2 = \sup_n \lVert T_n \rVert < \infty$, entonces $\sum_{n=1}^\infty a_n^2 <\infty$.

Answer 3

Se puede demostrar utilizando la desigualdad de Hölder - véase el lema 1.8 (página 8) de estas notas. (Puede haber errores; he compaginado estos de notas de la conferencia.) No hay necesidad de invocar la maquinaria pesada como el uniforme de acotamiento principio o incluso la representación de Riesz teorema; es un caso especial de un resultado general para $\ell^p$ espacios.