Lo siguiente se aplica a través de un campo arbitrario, con escalar de funciones con valores en un conjunto arbitrario (y que fue escrito antes de que estos se han especificado). Voy a hacer la simplificación de la suposición de que en el hecho de $f_i = h^i$, lo que resulta en la no pérdida de generalidad.
El conjunto $\{h,h^2,h^3,\ldots\}$ es linealmente independiente si y sólo si $h$ toma en infinidad de valores. (En particular, con la suposición de que $h:\mathbb R\to\mathbb R$, sería suficiente para$h$, no constante y continua.)
Primero supongamos que $h$ toma en infinidad de valores, y deje $n$ ser un entero positivo. A ver que $\{h,h^2,\ldots,h^n\}$ es linealmente independiente, supongamos que $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son escalares tales que $a_1h+a_2h^2+\cdots a_nh^n=0$ de forma idéntica. Deje $x_1,\ldots, x_n$ ser los puntos en el dominio donde se $h$ toma distintos valores distintos de cero, decir $y_i=h(x_i)$, $y_i\neq y_j$ si $i\neq j$. Entonces las ecuaciones se obtiene de conectar el $x_i$s en la identidad de $a_1h+a_2h^2+\cdots a_nh^n=0$ puede ser organizado en la ecuación de matriz
$$\begin{bmatrix}
y_1 & y_1^2 & \cdots & y_1^n\\
y_2 & y_2^2 & \cdots & y_2^n\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
y_n & y_n^2 & \cdots & y_n^n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_1 \\a_2\\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix}=0.$$
Si $A$ es la matriz cuadrada en esta ecuación, tenga en cuenta que $A$ tiene el mismo determinante como el invertible la matriz de Vandermonde
$\begin{bmatrix} 1&\vec 0\\ \vec1& A\end{bmatrix}$ donde $\vec{1}$ es el vector columna de todos los $1$s y $\vec{0}$ es el vector fila de todos los $0$s. Por lo tanto, $A$ es invertible, lo que implica que $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$.
Ahora supongamos que $h$ toma sólo un número finito de valores, decir $k$ de ellos, y que los conjuntos donde $h$ toma distintos valores de $E_1,E_2,\ldots,E_k$. El espacio vectorial de las funciones que son constantes en cada una de las $E_i$ es finito dimensionales con dimensión $k$, y cada una de las $h^i$ se encuentra en este espacio. Por lo tanto, $\{h,h^2,\ldots,h^{k+1}\}$ es linealmente dependiente.
