Fracciones parciales y el uso de valores no en dominio

Question

Estoy estudiando parcial fracción de la descomposición de una expresión racional. En este video el chico descomponer esta expresión racional:

$$ \frac{3x-8}{x^2-4x-5}$$

esto se convierte en:

$$\frac{3x-8}{(x-5)(x+1)} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+1} $$

$$[(x-5)(x+1)]\times \frac{3x-8}{(x-5)(x+1)} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+1}\times[(x-5)(x+1)]$$

$$3x-8 = A(x+1) + B(x-5)$$

a continuación, se sustituye $x$ $-1$ esto es cuando siento que algo está mal.

debido a $x=-1$ no está en el dominio de la función original y todos la declaración por debajo de la función original de ser cierto sólo si se cumple dentro del dominio de la función original ¿no? así que en el momento en que este tipo de sustituto $x=-1$ la declaración de convertirse en falso?

Yo soy novato en matemáticas, por favor, que me explique con la comprensión fácil y paso a paso.

Answer 1

Cuando llegas a la etapa $3x-8 = A(x+1) + B(x-5)$, te has olvidado de las fracciones parciales y todo lo que estamos tratando de hacer es determinar un polinomio de identidad. yo.e: lo $A$$B$, $A(x+1) + B(x-5)$ idéntica a $3x-8$ para todos los valores de $x$, esto incluye a $x=-1$$5$.

Una vez que tenemos los valores y luego se divide ambos lados de la polinomio de identidad por $(x+1)(x-5)$ con la restricción adicional de que $x\neq -1, 5$. Así que esto le da $$\frac{3x-8}{(x+1)(x-5)} = \frac{A(x-5) + B(x+1)}{(x+1)(x-5)} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+1}$$

que tiene para todos los $x \neq -1, 5$. (que es lo que nos permite hacer la cancelación de bits en la RHS)

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Explicación: la motivación para el uso de $x=-1$ $5$ es que es eficiente en el sentido de que hace que uno de los términos en la identidad de $0$, acelerando el proceso de encontrar los valores de los coeficientes. Si usted desea, puede utilizar cualquiera de los otros dos valores tales como la $x=3$ $4$ para obtener dos ecuaciones simultáneas en $A$$B$, lo que permite determinar sus valores, no sólo de la forma más eficiente.

Answer 2

La última ecuación que obtuvo para A y B de hecho viene con la condición de que x no es igual a -1 o 5. Sin embargo, también se puede ver que si puedes encontrar A y B que hace la declaración válida para todos permitido x, entonces se hará realidad también es válida para x = -1 y x = 5, ya que puede tomar el límite para los valores de ambos lados de la ecuación. Esto equivale a extender el dominio de los polinomios al imponer la continuidad.

Answer 3

Observar que la ecuación

\begin{eqnarray} \frac{3x-8}{(x+1)(x-5)}=\frac{A}{x-5}+\frac{B}{x+1} \end{eqnarray}

es válido sólo para $x\in \mathbb{R}\backslash \{-1,5\}$, como acertadamente han señalado. Sin embargo, la ecuación

\begin{eqnarray} 3x-8=A(x+1)+B(x-5) \end{eqnarray}

es válido para todas las $x\in \mathbb{R}$.