Clopen subconjuntos de un espacio métrico compacto

Question

Soy aked para mostrar que en un espacio métrico compacto podemos encontrar a lo más contable muchos subconjuntos que son: abrir y cerrar. Le agradecería su ayuda.

Answer 1

Parece que nos puede mostrar el reclamo de la siguiente manera. Es bueno saber y fácil probar que cada espacio compacto metrizable $X$ tiene una contables de la base. Fijar una base de estas $\mathcal B$. Deje $U$ ser un clopen (es decir, cerrado y abierto) subconjunto de $X$. Para cada punto de $x\in X$ existe una vecindad $x\in U_x\in\mathcal B$. Desde $U$ es compacto, existe un subconjunto finito $Y$ $U$ tal que $U=\bigcup\{U_x:x\in Y\}$. Por lo tanto la cardinalidad de la familia de todos los clopen subconjuntos de a $X$ no es mayor que la cardinalidad de la familia de todos los subconjuntos finitos de $\mathcal B$, que es contable.