compactación en un punto

Question

Me piden que describa la compactación de un punto de $(0,1) \cup [2,3)$ de $\Bbb R$ y si no me equivoco es sólo una unión de círculos el conjunto cerrado [2,3] ¿correcto? ¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Sólo estás añadiendo un punto: lo que se obtiene es homeomorfo al cociente de $[0,1]\cup[2,3]$ obtenida mediante la identificación de $0,1$ y $3$ a un solo punto. Es un círculo con cola, no la unión disjunta de un círculo y un segmento.

Answer 2

Un teorema específico de la compactación de un punto: supongamos que tenemos un espacio compacto de Hausdorff $X$ entonces $X$ es (homeomorfo a) la compactificación en un punto de los espacios de la forma $X \setminus \{p\}$ , donde $p$ es un punto no aislado de $X$ (necesitamos $X$ para ser el cierre de $X \setminus \{p\}$ ).

Así, por ejemplo, si eliminamos un punto (cualquier punto, ya que es homogéneo) de la circunferencia, nos queda un intervalo abierto esencialmente, por lo que un espacio homeomorfo a $\mathbb{R}$ . Así que la compactación de un punto (que es esencialmente única) de $\mathbb{R}$ es el círculo. Lo mismo ocurre con la esfera y el plano.

En su caso, si tenemos un círculo $S^1$ y un segmento compacto disjunto $[2,4]$ podemos decir que esto es compacto, pero si quitamos un punto tenemos algunos casos: o es la compactación de un punto de $\mathbb{R}$ unión disjunta un intervalo compacto (si quitamos un punto del círculo), o de la unión del círculo $[2,3) \cup (3,4]$ si eliminamos un punto interior del segmento, o finalmente de $S^1 \cup [2,4)$ si eliminamos un punto final. Todos ellos son diferentes del espacio con el que se empezó.

Para ver que la respuesta de Brian (un círculo con una cola, digamos $S^1 \cup ([1,2] \times \{0\}) \subset \mathbb{R}^2$ ) es correcto, elimine el punto $(1,0)$ de ese espacio y nos queda un intervalo abierto y un segmento semiabierto, que es exactamente su espacio inicial.