¿Teniendo en cuenta que $f(1)= 2013,$ encuentra el valor de $f(2013)$?

Question

Supongamos que $f$ es una función definida en el conjunto de números naturales tales que $$f(1)+ 2^2f(2)+ 3^2f(3)+...+n^2f(n) = n^3f(n)$$ for all positive integers $n$. Teniendo en cuenta que $f(1)= 2013$, encuentra el valor de $f(2013)$.

Answer 1

Sugerencia: Probar con algunos pequeños ejemplos de computación primero. Cuando $n=2$, obtenemos que $$f(1)+2^{2}f(2)=2^{3}f(2) $$ $$\Rightarrow 2^2f(2)=f(1).$$ Using the previous case and the given equation, when $n = 3, $ tenemos que

$$f(1)+2^2f(2)+3^{2}f(3)=3^{3}f(3)$$ $$\Rightarrow f(1)+f(1)+3^{2}f(3)=3^{3}f(3),$$ $$\Rightarrow 18f(3)=2f(1),$$ $$\Rightarrow 3^{2}f(3)=f(1).$$

Usando los casos anteriores y la ecuación dada, cuando $n=4$

$$f(1)+2^2f(2)+3^2f(3)+4^{2}f(4)=4^{3}f(4), $$ $$\Rightarrow f(1)+f(1)+f(1)+4^{2}f(4)=4^{3}f(4), $$ $$\Rightarrow 48f(4)=3f(1),$$ $$\Rightarrow 4^2f(4)=f(1).$$

¿Ves un patrón? ¿Lo que está pasando aquí? Ahora que tienes una conjetura, tratar de probarlo.

Answer 2

Tenemos %#% $ #%

Poner $$\sum_{1\le r\le n} r^2f(r)=n^3f(n)$

Poner $n=m, \sum_{1\le r\le m} r^2f(r)=m^3f(m)$

Sobre la resta, $n=m+1, \sum_{1\le r\le m+1} r^2f(r)=(m+1)^3f(m+1)$ $

$$m^3f(m)=f(m+1)\{(m+1)^3-(m+1)^2\}$$

Answer 3

Introducir la función auxiliar $$g(n):=n^2 f(n)\qquad(n\geq1)\ .$ $ entonces $$n g(n)= g(1)+g(2)+\ldots+g(n)\qquad(n\geq1)$ $ y por lo tanto $$(n+1)g(n+1)-n g(n)=g(n+1)\ ,$ $ o $g(n+1)=g(n)$ % todos $n\geq1$. Sigue ese % $ $$2013^2 f(2013)= g(2013)= g(1)=1^2 f(1)\ ,$donde $f(2013)={1\over2013}$.

Answer 4

Esta es una pregunta fácil.

Vamos a demostrar primero que para cada entero no negativo, se tiene:

$$n^2 f(n)=f(1)$$

$n=2$:

$$f(1)+2^{2} f(2)=2^{3} f(2)$$ $$2^2 f(2)=f(1)$$

Supongamos cada $p$ $n$ menos:

$$p^2 f(p)=f(1)$$

Entonces por hipótesis

$$f(1)+2^2 f(2)+3^2 f(3)+..+(n-1)^2 f(n-1)+n^2 f(n)=n^3 f(n)$$

Por lo tanto:

$$(n^3-n^2) f(n)=(n-1) f(1)$$

A continuación:

$$n^2 f(n)=f(1)$$

Por lo tanto:

$$f(n)=f(1)/(n^2)$$

Aplicación para el caso de $n=2013$:

$$f(2013)=2013/(2013^2)=1/2013$$