"La rueda de la Teoría", Extendido Reales, Límites, y "Nulidad": DNE límites se hace igual a la del elemento "$0/0$"?

Question

"Las ruedas" son poco conocida de tipo algebraico de estructura:

Se modifica el concepto de un campo o de un anillo de tal forma que la división por cualquier elemento es posible, incluyendo la división por cero, evitando contradicciones (como $2 = 1$) en el álgebra. Esto lo hacen esencialmente la promoción y la generalización de la "inversión" operador $x^{-1} = \frac{1}{x}$ a una primera operación, y la modificación de las leyes distributiva.

Específicamente, una rueda es una estructura algebraica $(W, +, *, /)$ consiste en un conjunto $W$, dos operaciones binarias $+$$*$, los cuales son simplemente la suma y la multiplicación, y una tercera, unarios operación $/$, lo que podría ser llamado "división" o "involución", satisfaciendo:

1. $(W, +)$ $(W, *)$ son conmutativas monoids.
2. $/$ es involutiva, es decir, para todos $a \in W$, $//a = a$.
3. Una serie de modificaciones de la distributividad principios: para todos los $a, b, c \in W$, $$ac + bc = (a + b)c + 0c$$ $$(a + bc)/b = a/b + c + 0b$$ $$(a + 0b)c = ac + 0b$$ $$/(a + 0b) = /a + 0b$$
4. $0 * 0 = 0$
5. La existencia de aditivo annihilator: para todos los $a \in W$, $0/0 + a = 0/0$.

Después de la iniciativa de un algo excéntrico "computer scientist" que propuso algunas cosas a lo largo de estas líneas, pero de lo contrario, era algo extraño, yo llame a $0/0$ "nulidad", y denota $\Phi$. El elemento $\Phi$ también aniquila en la multiplicación: $\Phi a = \Phi$ todos los $a \in W$. (Prueba: $\Phi a = (0/0)a$ lo que equivale a $(0a)/0$ por conmutativa/asociativo de las leyes, que es igual a $0/0$ o $\Phi$ nuevo).

A continuación, podemos formar una rueda de los reales formando el conjunto $W = \mathbb{R} \cup \{ \infty, \Phi \}$, donde tomamos $/0 = \infty$$\Phi = 0/0$. Este infinito es sin signo, como en el real proyectiva de la línea. La adición y la multiplicación son definidas de manera similar, excepto cuando una operación es "undefined", se define a la igualdad de $\Phi$. En particular, hemos $\infty + \infty = \Phi$, $0 * \infty = \Phi$, $0^0 = \Phi$, etc.

Podemos definir un "topológico de la rueda" para ser un volante, donde el conjunto $W$ tiene estructura topológica y las funciones $+$, $*$ y $/$ son funciones continuas, de una manera análoga a la definición topológica de los anillos y campos. La topología de poner en el real de la rueda anterior sería igual que la de la línea proyectiva, además de un punto aislado $\Phi$. Esta es la inspiración para el término "rueda": usted puede dibujar esta estructura en un pedazo de papel como un círculo con un punto de $\Phi$ en el centro (por supuesto, usted puede poner en cualquier lugar y no en el círculo, pero aquí es donde el término proviene), y que se verá como un carrito de la rueda con el eje.

Así, en este espacio, tenemos que "undefined" operaciones como $\frac{0}{0}$ rendimiento $\Phi$. Sin embargo, con los límites, todavía tenemos que, por ejemplo, $\lim_{x \rightarrow 0} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ DNE. Así que mi pregunta es:

Es posible poner una topología en esta rueda de modo que todas las funciones tienen un límite, con aquellos cuyo límite DNE en la topología usual tener límite de $\Phi$ y aquellos cuyo límite existe en la topología usual tener el mismo límite de aquí?

Si "no", ¿cuál es el mayor posible de la clase de funciones, incluyendo todos aquellos cuyos límites existen en la topología usual para que los de arriba se puede hacer?

EDIT: Hmmmmmmm... me doy cuenta de que la "rueda" en forma de topología en realidad no le topológico de la rueda después de todo! En particular, el mapa de $x \mapsto x + \infty$ no es continua en esta topología. Tenga en cuenta que la preimagen del conjunto abierto $\{ \Phi \}$ (que está abierta desde $\Phi$ es un punto aislado y en realidad es de hecho clopen) retiró de nuevo a través de este mapa no es $\{ \Phi \}$ pero $\{ \infty, \Phi \}$, ya que el $\infty + \infty = \Phi$. Sin embargo, este conjunto no es abierto, pero cerrado, siendo la unión de los conjuntos cerrados $\{ \infty \}$ $\{ \Phi \}$ $\{ \infty \}$ no es un componente conectado, por lo que no puede ser clopen y sólo debe ser cerrado.

Así que esto nos lleva a otra pregunta: ¿hay incluso cualquier topología en esta rueda a todos los que la convierte en un topológico de la rueda y de tal manera que los límites reales se conservan? Si es así, ¿una topología de tal forma automática dar "DNE" (en el proyectivos reales) límites de $\Phi$ como un valor?

Answer 1

Primero de todo me gustaría decir que estoy muy asombrado por el hecho de que usted y yo de forma independiente decidió llamar a la rueda de la teoría de $0/0$ 'nulidad' después de que James Anderson 'transreal aritmética'.

Estoy bastante seguro de que si el real proyectiva de la línea de la topología en $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ y anexar $\Phi$ como una extensión abierta de la topología (es decir, el abrir los conjuntos son precisamente los pre-existente pone en $\mathbb{R}\cup \{\infty\}$ y todo el espacio $\mathbb{R}\cup\{\infty,\Phi\}=\odot_\mathbb{R}$) luego de obtener una topológico de la rueda. Además creo que esta puede ser la única manera de ampliar el ordinario de la real proyectivas de la línea para obtener un topológico de la rueda (en gran parte debido a un razonamiento similar al que en su edición), pero no he probado eso.

Esta topología es algo que recuerda genérico puntos en la topología de Zariski en el espectro de un anillo en que la nulidad es 'junto a' cualquier otro número, pero no es exactamente el mismo. También es algo natural en que es el cociente de la topología de $\mathbb{R}^2$ en virtud de la equivalencia de la relación de $(a,b)\sim(c,d)$ fib $(a,b)$ $(c,d)$ no $(0,0)$ $(a,b)=(e\cdot c,e \cdot d)$ para algunos distinto de cero $e$, que es sólo la construcción de la real proyectiva línea sin la eliminación de $(0,0)$.

En cuanto a los límites están preocupados de que casi consigue lo que usted desea. Cada secuencia converge a $\Phi$ y en la mayoría de otro punto. El no$\Phi$ punto límite existe iff la secuencia converge en el real proyectiva de la línea de la topología de y es igual a ese límite.

Además creo que este puede ser el mejor que usted puede hacer. Si considera que cualquier serie de $a_n\in\mathbb{R}$ que normalmente no converge, pero en su topológico de la rueda converge a $\Phi$, entonces la serie $(a_n, -a_n)$ converge en el producto de la topología $\odot_\mathbb{R} \times \odot_\mathbb{R}$$(\Phi,\Phi)$, además es un mapa continuo $+ : \odot_\mathbb{R} \times \odot_\mathbb{R} \rightarrow \odot_\mathbb{R}$ por lo tanto la secuencia de $a_n - a_n=0$ debe converger a $\Phi+\Phi=\Phi$ así como el límite obvio de $0$.