Esto no es una respuesta a su pregunta, sino un largo comentario sobre su motivación. La multiplicación es por lo menos dos conceptualmente distintas cosas, sólo uno de los que razonablemente pueden ser descritas como la suma repetida:
- El natural de mapa de $\mathbb{Z} \times \$ dada por $(n, a) \mapsto na$ donde $A$ es un grupo abelian; esto realmente es una suma repetida, y es en particular bilineal.
- La composición de $\text{End}(A) \times \text{End}(A) \a \text{End}(A)$ de endomorphisms de un grupo abelian.
Lo que es confuso es que estas dos definiciones están de acuerdo en casos familiares. Si $a = \mathbb{Z}$ (el grupo abelian), la adición repetida da un natural mapa de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$. Por otro lado, $\text{End}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$ (el anillo), y la composición de endomorphisms da un natural mapa de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$. Estos pasan a ser el mismo mapa, pero esto es una ilusión causada por el hecho de que estamos buscando a un tal fundamentales abelian grupo de $\mathbb{Z}$.
Del mismo modo, si $a = \mathbb{R}$ (el grupo abelian), la adición repetida da un natural mapa de $\mathbb{Z} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Por otra parte, la razonable endomorphisms de $\mathbb{R}$ formar un anillo isomorfo a $\mathbb{R}$ (el anillo), dando un natural mapa de $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, y la restricción a $\mathbb{Z}$ en el primer factor del segundo mapa da a la primera.
Pero cuando pensamos en la multiplicación de los números reales, la primera foto es engañosa: ¿en qué sentido es de $\pi \times \pi = \pi^2$ suma repetida? Simple: no. Es mejor conceptualizada como la composición de los cambios de escala de la línea real (el endomorfismo definición).
El endomorfismo definición generaliza inmediatamente a la multiplicación de los números complejos y la multiplicación de la matriz, en un contexto en que "la suma repetida" ni siquiera empezar a capturar lo que la multiplicación es todo acerca de. Esta es probablemente una razón importante de por qué la gente tiene un tiempo difícil con números complejos: nadie les explica que solo están componiendo las rotaciones y cambios de escala del plano.
La exponenciación es, al menos, tres conceptualmente distintas cosas, una de las cuales puede razonablemente ser descrito como la multiplicación repetida:
- El natural de mapa de $\mathbb{Z} \times G \G$ dada por $(n, g) \mapsto g^n$ donde $G$ es un grupo; esto realmente es la multiplicación repetida. Tenga en cuenta que para fijo $n$ no conseguimos un homomorphism en general si $G$ es no-abelian, pero fijo de $g$ obtenemos un homomorphism $\mathbb{Z} \G$.
- El natural de mapa $B \a B$ dada por $x \mapsto e^x = \exp(x) = \sum \frac{x^k}{k!}$ donde $B$ es un topológico anillo y la serie converge (que, por ejemplo, es siempre cierto en un álgebra de Banach). Si existe para todo $x \in B$, este mapa es un homomorphism desde el grupo aditivo de $B$ a el grupo multiplicativo de a $B$; por otra parte, la homomorphism $t \mapsto e^{tx}$ de $\mathbb{R}$ a $B^{\times}$ es (en niza de los casos) se determina únicamente por el hecho de que su derivada en $t = 0$ (en niza los casos en que este existe) es de $x$. En otras palabras, este es un muy, muy natural mapa.
- Cualquier mapa que se extiende o es análogo a uno o ambos de los dos mapas.
La razón de mapas en la tercera categoría existen es porque el buen homomorphism propiedades que cualquier cosa que se comportan como una exponencial debe satisfacer, que a menudo nos quieren imitar en otros lugares (por ejemplo, el mapa exponencial en la geometría de Riemann). Así, por ejemplo, tenemos una exponencial $(a, x) \mapsto a^x = e^{x \log a}$ donde $a$ es un real positivo y $b$ es un elemento de topológico, anillo, la generalización de la segunda definición, que
- $a^{x+y} = a^x^y$ (cuando $x, y$ conmutar) y
- $(ab)^x = a^x b^x$
y si $x$ es el elegido para ser un escalar múltiples de la identidad, obtenemos de nuevo un caso especial de la primer mapa de $G = (\mathbb{R}_{>0}, \times)$.
Pero sigo pensando que esto es engañoso. Uno de los síntomas es que las exponenciales con bases arbitrarias se comportan muy mal una vez que $a$ es permitido ser otra cosa que un real positivo. La primera vez que probé la gráfica de la ecuación
$$ $ y = (-10)^x$$
en mi calculadora impresionado de este momento me siento muy fuertemente. (Es probar y ver qué pasa.) Por supuesto, esto es debido al hecho de que los logaritmos no están bien definidos, en general, que, si bien es interesante, sólo resalta aún más el punto de que en lugar de permitir que tanto arbitraria bases y exponentes debemos atenernos a la multiplicación repetida, $e^x$, y los logaritmos, que son las verdaderas estrellas del espectáculo.
Así que en la medida en que la multiplicación y exponenciación se repite la adición y la multiplicación, al menos esto es razonable debido a que la adición y la multiplicación son asociativos.
La exponenciación es no asociativo, y no debería ser así, porque en muchos de los casos más generales de sus dos entradas son diferentes tipos de cosas.
Por lo tanto, no hay ninguna razón para esperar que repite exponenciación tener ningún razonable de las propiedades a lo largo de las líneas de la natural y útil homomorphism propiedades de la multiplicación y exponenciación, y que yo sepa, no.
