Buscando una forma cerrada para $\sum_{k=1}^{\infty}\left( \zeta(2k)-\beta(2k)\right)$

Question

Durante algún tiempo he estado jugando con este tipo de sumas, por ejemplo, yo era capaz de encontrar que $$ \frac{\pi}{2}=1+2\sum_{k=1}^{\infty}\left( \zeta(2k+1)-\beta(2k+1)\right) $$ donde $$ \beta(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^{x}} $$ es la de Dirichlet de la función beta y $\zeta(x)$ es la Riemann zeta función. Me parece que este resultado es muy interesante, porque sabemos que para los enteros impares $\beta(x)$ reduce a $$ \beta(2k+1)=(-1)^{k}\frac{E_{2k}\pi^{2k+1}}{4^{k+1(2k)!}}. $$
Donde $E_{2k}$ son los números de Euler: $$ \begin{matrix} E_{0} &=& 1\\ E_{2} &=& -1\\ E_{4} &=& 5\\ E_{6} &=& -61\\ E_{8} &=& 1385\\ \vdots &=&\vdots \end{de la matriz} $$ Pero no se conoce similares simple relación de $\zeta(2k+1)$. Sin embargo, cuando ambos se combinan dan la anterior bello resultado.

Ahora, me gustaría saber si hay algo similar para $$ \sum_{k=1}^{\infty}\left( \zeta(2k)-\beta(2k)\right) $$ Cualquier ayuda se agradece.

Gracias.

Answer 1

Hay una forma cerrada para la serie:

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\left( \zeta(2k)-\beta(2k)\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln2. \tag1 $$

Prueba. El uso de convergencia absoluta de la serie, usted puede escribir

$$\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty}\left( \zeta(2k)-\beta(2k)\right) & = \sum_{k=1}^{\infty}\left( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^{2k}}\right)\\\\ & = \sum_{k=1}^{\infty}\left( \sum_{n=\color{red}2}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}-\sum_{n=\color{red}2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^{2k}}\right)\\\\ & = \sum_{n=2}^{\infty}\left( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^{2k}}\right)\\\\ & = \sum_{n=2}^{\infty}\left( \frac{1}{n^{2}}\frac{1}{1-\frac{1}{n^{2}}}+\frac{(-1)^{n}}{(2n-1)^{2}}\frac{1}{1-\frac{1}{(2n-1)^{2}}}\right)\\\\ & = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n-1)}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{8n(2n-1)}-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{8(2n-1)(n-1)}\\\\ & = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln2, \end{align}$$ where, in the last steps, we have used partial fraction decomposition, telescoping terms and a familiar series for $\ln 2$.

Answer 2

Sugerencia: Reescribir el término general como una serie infinita, y luego cambiar el orden de la suma. :-$)$